Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.1 - Ex. 38

Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico da função .

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... a questão nos dá a seguinte função:

Queremos encontrar o domínio, a imagem e o esboço do gráfico dessa função.

Para isso, temos que entender alguns conceitos:

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função é definida;
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída que a função pode produzir quando aplicada aos elementos do domínio.

Assim, para resolver essa questão, a primeira coisa que devemos encontrar é o domínio da função!!

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Como temos uma função raiz quadrada, sabemos que o que tem dentro da raíz não pode ser um número negativo!

Logo, podemos escrever uma inequação que representa isso dessa forma:

Agora, passamos o para o outro lado:

Multplicando tudo por (não esquece que o sinal do meio muda de lado quando fazemos isso!):

Agora, temos que lembrar de uma igualdade muito importante quando a gente trabalha com uma inequação!

É a propriedade que diz para a gente que .

Isso é importante porque essa alteração na inequação vai fazer a gente visualizar melhor o domínio no final das contas. Dá uma olhada:

Jogando a raiz para o outro lado:

Toda vez que a gente tem um módulo assim na inequação, a gente pode “abrir” ele ficando da seguinte forma:

Sacou? A gente tira o módulo e põe o valor negativo do outro lado, desse jeito que ta aí, sem mistério!

Esse vai ser o nosso domínio então, que podemos escrever na forma do intervalo .

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora, iremos achar a imagem da nossa função.

Qual é o menor valor que pode assumir? Vai ser justamente quando , veja:

O mesmo vale para , já que , Tranquilo?

Agora vamos pensar qual o maior valor que pode assumir, levando em conta o domínio da nossa função.

Isso vai acontecer quando , pois aí não vamos ter nenhum valor sendo subtraído do , sacou? Nesse caso, vai acontecer o seguinte:

Então vai ser o maior valor possível para a nossa imagem.

Daí a gente consegue tirar que a nossa imagem vai ficar, então, no intervalo .

Legal, né? 😉

Passo 4

Por fim, falta só desenhar o gráfico da questão!

Você pode tentar desenhar vários pontos dessa curva para montar o gráfico, mas tem um certo “atalho” que, sabendo, você já consegue dizer de cara o gráfico dessa função!

Primeiro, vamos chamar de , ou seja, . A gente pode, então, fazer o seguinte para dar uma arrumada na expressão que temos:

Conseguiu reconhecer? Essa daí é a expressão de uma circunferência centrada na origem, lá da geometria! Daí, a gente tira que o raio dessa circunferência é .

Acontece que a nossa expressão representa a parte superior de uma circunferência de raio , sacou?

A parte inferior seria dada por uma outra função, uma por exemplo, que seria da forma . Então toda vez que você ver função assim com raíz quadrada, vai logo suspeitando!