Enunciado

Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico da função h x = 4 - x 2 .

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... a questão nos dá a seguinte função:

h x = 4 - x 2

Queremos encontrar o domínio, a imagem e o esboço do gráfico dessa função.

Para isso, temos que entender alguns conceitos:

  • O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função é definida;
  • A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída que a função pode produzir quando aplicada aos elementos do domínio.

Assim, para resolver essa questão, a primeira coisa que devemos encontrar é o domínio da função!!

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Como temos uma função raiz quadrada, sabemos que o que tem dentro da raíz não pode ser um número negativo!

Logo, podemos escrever uma inequação que representa isso dessa forma:

4 - x 2 ≥ 0

Agora, passamos o 4 para o outro lado:

- x 2 ≥ - 4

Multplicando tudo por - 1 (não esquece que o sinal do meio muda de lado quando fazemos isso!):

x 2 ≤ 4

Agora, temos que lembrar de uma igualdade muito importante quando a gente trabalha com uma inequação!

É a propriedade que diz para a gente que x 2 = x 2 .

Isso é importante porque essa alteração na inequação vai fazer a gente visualizar melhor o domínio no final das contas. Dá uma olhada:

| x | 2 ≤ 4

Jogando a raiz para o outro lado:

| x | ≤ 2

Toda vez que a gente tem um módulo assim na inequação, a gente pode “abrir” ele ficando da seguinte forma:

- 2 ≤ x ≤ 2

Sacou? A gente tira o módulo e põe o valor negativo do outro lado, desse jeito que ta aí, sem mistério!

Esse vai ser o nosso domínio então, que podemos escrever na forma do intervalo [ - 2,2 ] .

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora, iremos achar a imagem da nossa função.

Qual é o menor valor que h ( x ) pode assumir? Vai ser justamente quando x = 2 , veja:

h x = 4 - 2 2 = 4 - 4 = 0

O mesmo vale para - 2 , já que - 2 2 = 4 , Tranquilo?

Agora vamos pensar qual o maior valor que h ( x ) pode assumir, levando em conta o domínio da nossa função.

Isso vai acontecer quando x = 0 , pois aí não vamos ter nenhum valor sendo subtraído do 4 , sacou? Nesse caso, vai acontecer o seguinte:

h x = 4 - 0 2 = 4 = 2

Então 2 vai ser o maior valor possível para a nossa imagem.

Daí a gente consegue tirar que a nossa imagem vai ficar, então, no intervalo [ 0,2 ] .

Legal, né? 😉

Passo 4

Por fim, falta só desenhar o gráfico da questão!

Você pode tentar desenhar vários pontos dessa curva para montar o gráfico, mas tem um certo “atalho” que, sabendo, você já consegue dizer de cara o gráfico dessa função!

Primeiro, vamos chamar h x de y , ou seja, h x = y . A gente pode, então, fazer o seguinte para dar uma arrumada na expressão que temos:

y = 4 - x 2

y 2 = 4 - x 2

y 2 + x 2 = 4

y 2 + x 2 = 2 2

Conseguiu reconhecer? Essa daí é a expressão de uma circunferência centrada na origem, lá da geometria! Daí, a gente tira que o raio dessa circunferência é 2 .

Acontece que a nossa expressão h ( x ) representa a parte superior de uma circunferência de raio 2 , sacou?

A parte inferior seria dada por uma outra função, uma g ( x ) por exemplo, que seria da forma g x = - 4 - x 2 . Então toda vez que você ver função assim com raíz quadrada, vai logo suspeitando!

Sabendo disso, o gráfico da nossa função, então, vai ficar assim:

Entendeu direitinho?? Responde Aí! 😉

Resposta

O domínio fica no intervalo [ - 2,2 ] , a imagem no intervalo [ 0,2 ] e o gráfico da função vai ser a parte superior de um círculo de raio 2 centrado na origem:

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