Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 3
Determine se é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função tal que .
3-
Passo 1
Para ser conservativo temos que verificar a igualdade:
Isso nos dá:
Logo é um campo conservativo.
Passo 2
Agora vamos encontrar uma função potencial tal que e isso nos dá uma função que se integrarmos em igual a:
Onde é uma função em relação a (que não aparecerá na ) .
Agora se derivarmos essa função em temos:
Dessa forma se compararmos as duas funções temos que , logo (basta integrar em então a função será:
Onde é um valor constante qualquer.
Resposta
Campo conservativo.
Campo potencial igual a:
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Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.d) f → = y 2 - 3 - y x 2 + x y i → + 1 x + y + 2 x y + 2 y j →
Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = x vec i + y vec j + x z vec k
Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = - y vec i + x vec j + z vec k
Seja φ :Ω ⊂ R 2 → R , Ω aberto, de classe C 2 . Verifique que o campo vetorial F → =∇ φ é irrotacional.
Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = (x^2 + y^2) vec i