Encontre o valor exato de cada expressão

a) sec(arctan(2))

b) cos(2 * se^(−1)(5/13))

Passo 1

Opaa, aqui a gente precisa calcular as seguintes expressões:

sec (arctan ( 2 ))

cos (2 sin^(- 1) (5)/(13))

Devemos lembrar que para as funções inversas o raciocínio deve ser o inverso do que fazemos com a função normal, ou seja, devemos pensar qual é o arco (ângulo) cuja função da o resultado entre parênteses. Para esse caso, vamos analisar cada uma das funções de dentro pra fora. Vamos começar pelo primeiro:

sec (arctan ( 2 ))

Se fizermos gamma = arctan ( 2 ) -> tan (gamma) = 2 . Da relação fundamental da trigonometria podemos extrair o seguinte

tan^2 ( gamma ) + 1 = sec^2 (gamma) -> sec^2 (gamma) = sec ( gamma ) = sqrt(5)

Como definimos anteriormente:

gamma = arctan (2) -> sec (gamma) = sec (arctan (2)) = sqrt(5)

Passo 2

Para o segundo item vamos utilizar o mesmo raciocínio, porém, tomaremos:

theta = sin^(- 1) ((5)/(13)) -> sin (theta) = (5)/(13)

Dessa forma, podemos escrever nossa função de interesse como sendo:

cos (2 * sin^(- 1) ((5)/(13))) = cos (2 theta) = 1 - s e n^2 (theta) =

1 - 2 * ((5)/(13))^2 = (119)/(169)

Prontinho!

Resposta

(a) sqrt(5)

(b) (119)/(169)

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