Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.2 - Ex. 46
Determine a fórmula para a soma de Riemann obtida dividindo o intervalo em subintervalos iguais e usando a extremidade direita para cada . Depois, tome o limite dessas somas quando para calcular a área sob a curva ao longo de .
ao longo do intervalo .
Passo 1
A questão nos pede duas coisas: expressar a soma de Riemann e depois calculá-la. Então, o nosso primeiro passo é escrever esta soma. Vejamos então como ela é expressa:
Em que é a norma da partição e o valor do ponto que iremos trabalhar, o qual no caso é a extremidade direita de cada subintervalo. Portanto, precisamos determinar primeiramente estes dois parâmetros para que possamos escrever a soma de Riemann. E, só depois disto, poderemos calcular o seguinte limite:
Vamos as contas!
Passo 2
Vamos começar por determinar a norma da nossa partição. Isto é, o maior comprimento dos subintervalos. Como a questão nos pediu para dividir em subintervalos iguais, temos:
Passo 3
Como os nossos pontos são dados pela extremidade direita dos subintervalos, cada um deles pode ser obtido através da seguinte expressão:
Passo 4
Agora, podemos escrever a nossa soma de Riemann. Assim, temos:
Passo 5
Agora, precisamos utilizar a regra do valor constante, dos primeiros números inteiros, quadrados e cubos, para transformar os somatórios em funções de . Desta forma, temos:
Passo 6
Agora, basta resolvermos o limite de . Portanto:
Resposta
A soma de Riemann é dada por:
Quando a área abaixo da curva no intervalo é dado por: