Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.2 - Ex. 32
Determine as fórmulas para e e estabeleça os domínios das compostas.
Passo 1
Bom, nessa questão vamos usar isso aqui:
Dessa forma, o domínio da composição consiste em todo no domínio de com o qual está no domínio de . Como assim?
Vamos ver o domínio de e o de , depois, vamos ver quais os valores do domínio de que fazem se encaixar no domínio de . Vai ficar melhor na prática!
Show?? Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos ver quais são os domínios de e . Temos que procurar por divisões por zero e raízes negativas!
A única coisa que restringe o nosso domínio é a raiz quadrada, pois não podemos ter um valor negativo dentro dela. Então:
Assim, o domínio de é:
E:
A única coisa que restringe o nosso domínio é a raiz quadrada, pois não podemos ter um valor negativo dentro dela. Então:
Como não temos números reais que fiquem negativos ao quadrado, não precisamos nos preocupar com essa restrição. Logo, o domínio de é:
Ou seja, qualquer número dentro dos reais!
Passo 3
Primeiro, faremos .
Vamos colocar dentro de !! É só substituir o de pela função :
Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de que tornam um valor dentro do domínio de .
Bem, como é uma função com raiz quadrada, qualquer valor que assume será um número maior ou igual a !
E, olhando o domínio de , vemos que ele só aceita números maiores ou iguais a ! Logo, um número maior ou igual a (que poderia assumir) está dentro desse intervalo de né? Sem problemas! Dessa forma, o domínio da composição será o próprio domínio de , pois todos os valores que assume estão no domínio de :
Passo 4
Agora, faremos .
Vamos colocar dentro de !! É só substituir o de pela função :
Podemos tirar a primeira raiz:
Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de que tornam um valor dentro do domínio de .
Já vimos que o domínio de consiste em todos os números igual ou maiores que , certo? E, como é uma função com raiz quadrada, qualquer valor que assume será um número maior ou igual a , ok?
Agora, olhando para o domínio de , que são todos os números reais (positivos e negativos). Logo, qualquer número maior ou igual a (que poderia assumir) está dentro desse intervalo de né? Sem problemas!
Dessa forma, o domínio da composição será será o próprio domínio de , pois todos os valores que assume estão dentro do domínio de :
Resposta
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