O que pode ser dito sobre funções cujas derivadas são constantes? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiramente devemos entender o que é uma função cuja derivada é constante, para isso tomemos a função g ( x ) = m x e a derivamos obtendo g ’ ( x )   = m que é constante para qualquer valor de x , ou seja, seu valor é o mesmo independente do valor de x para o qual eu queira colocar em g ' x .

Passo 2

Como consequência direta do teorema do valor médio temos um corolário que diz que se encontrarmos uma função f x tal que g ' x = f ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que g x = f x + C . No nosso caso, como g ' x é um valor constante, a nossa função f vai ser do tipo f x = m x .

Passo 3

Aplicando as conclusões do corolário chegamos em f ( x )   =   g ( x )   +   b , sendo b uma constante numérica. Assim, f ( x )   =   m x   +   b , ou seja, uma função do primeiro grau. Portanto, todas as funções que apresentam uma derivada constante podem ser representadas como uma reta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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