Determine se a função dada é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.
Passo 1
A questão pede para verificarmos se a função é biunívoca, isto é, se ela é injetora. Para que uma função seja inteira, diferentes valores de devem dar, necessariamente, em diferentes valores de . Assim, devemos ter
Derivando , obtemos , de modo que é crescente. Sendo assim, diferentes valores de acarretam necessariamente diferentes valores de , de modo que a função é biunívoca. Formalmente, se tomarmos e reais com , chegaremos em , cuja única solução real é . Assim, a única forma de ser igual a é se e forem o mesmo número. Provamos assim que é injetora!
Passo 2
O gráfico de é dado a seguir:
Observe que o gráfico satisfaz o teste da reta horizontal!
Resposta
É biunívoca.
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Seja y=f(x) e x = f^(-1)(y) , verifique qued x / d y = 1 / (d y / d x) f(x) = x^(1/5)
Seja y=f(x) e x = f^(-1)(y) , verifique qued x / d y = 1 / (d y / d x) f(x) = 8 * x^3
Seja y=f(x) e x = f^(-1)(y) , verifique qued x / d y = 1 / (d y / d x) f(x) = (3x + 4) / (2x + 6)
A função f(x) = e^x + x , sendo derivável e injetora, tem uma inversa derivável f^(-1)(x) . Determine o valor de d f^(-1) / d x no ponto f(ln(2)) .
Determine a inversa da função f(x) = 1 + (1 / x) , x ≠ 0 . Em seguida, mostre que f^(-1)(f(x)) = f(f^(-1)(x)) = x e qued(f^(-1))/dx = 1 / f'(x)