Determine se a função dada é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.

h(x) = 1 / 2 * x^3 + 1

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a função é biunívoca, isto é, se ela é injetora. Para que uma função seja inteira, diferentes valores de x devem dar, necessariamente, em diferentes valores de h ( x ) . Assim, devemos ter

s e   x 1 ≠ x 2 ⇒ h x 1 ≠ h ( x 2 )

Derivando h , obtemos h ' x = 3 2 x 2 ≥ 0 , de modo que h é crescente. Sendo assim, diferentes valores de x acarretam necessariamente diferentes valores de h ( x ) , de modo que a função é biunívoca. Formalmente, se tomarmos a e b reais com h a = h ( b ) , chegaremos em a 3 = b 3 , cuja única solução real é a = b . Assim, a única forma de h ( a ) ser igual a h ( b ) é se a e b forem o mesmo número. Provamos assim que h é injetora!

Passo 2

O gráfico de h é dado a seguir:

Observe que o gráfico satisfaz o teste da reta horizontal!

Resposta

É biunívoca.

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Seja y=f(x) e x = f^(-1)(y) , verifique qued x / d y = 1 / (d y / d x) f(x) = x^(1/5)
Seja y=f(x) e x = f^(-1)(y) , verifique qued x / d y = 1 / (d y / d x) f(x) = 8 * x^3
Seja y=f(x) e x = f^(-1)(y) , verifique qued x / d y = 1 / (d y / d x) f(x) = (3x + 4) / (2x + 6)
A função f(x) = e^x + x , sendo derivável e injetora, tem uma inversa derivável f^(-1)(x) . Determine o valor de d f^(-1) / d x no ponto f(ln(2)) .
Determine a inversa da função f(x) = 1 + (1 / x) , x ≠ 0 . Em seguida, mostre que f^(-1)(f(x)) = f(f^(-1)(x)) = x e qued(f^(-1))/dx = 1 / f'(x)