Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.1 - Ex. 6
Determine se a função dada é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.
Passo 1
A questão pede para verificarmos se a função é biunívoca, isto é, se ela é injetora. Para que uma função seja inteira, diferentes valores de devem dar, necessariamente, em diferentes valores de . Assim, devemos ter
Derivando , obtemos , de modo que é crescente. Sendo assim, diferentes valores de acarretam necessariamente diferentes valores de , de modo que a função é biunívoca. Formalmente, se tomarmos e reais com , chegaremos em , cuja única solução real é . Assim, a única forma de ser igual a é se e forem o mesmo número. Provamos assim que é injetora!
Passo 2
O gráfico de é dado a seguir:
Observe que o gráfico satisfaz o teste da reta horizontal!
Resposta
É biunívoca.
Exercícios de Livros Relacionados
Seja y=f(x) e x = f^(- 1) (y) , verifique que(d x)/(d y) = (1)/((d y)/(d x)) f (x) = x^((1)/(5))
Seja y=f(x) e x = f^(- 1) (y) , verifique que(d x)/(d y) = (1)/((d y)/(d x)) f (x) = 8 x^3
Seja y=f(x) e x = f^(- 1) (y) , verifique que(d x)/(d y) = (1)/((d y)/(d x)) f (x) = (3 x + 4)/(2 x + 6)
A função f x = e x + x , sendo derivável e injetora, tem uma inversa derivável f - 1 x . Determine o valor de d f - 1 / d x no ponto f ( ln 2 ) .
Determine a inversa da função f x = 1 + 1 x , x ≠ 0 . Em seguida, mostre que f - 1 f x = f f - 1 x = x e que d f - 1 d x f x = 1 f ' x .