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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 54

Prove que arctan x + arctan (1)/(x) = (pi)/(2) , se x > 0 . (Sugestão: use a identidade c o t a n A = tan ((pi)/(2) - A) .)

Passo 1

A questão pede para provarmos que arctan x + arctan (1)/(x) = (pi)/(2) para qualquer x positivo. Como sugestão, foi dado a relação

c o t a n A = tan ((pi)/(2) - A)

Vamos inverter a relação:

(pi)/(2) - A = arctan (c o t a n A)

Assim,

arctan ( c o t a n A ) + A = (pi)/(2)

Passo 2

Para chegarmos na relação pedida, vamos chamar x = c o t a n A . Assim

x = (1)/(tan A) => tan A = (1)/(x) => A = arctan (1)/(x)

Desta forma, substituindo c o t a n A por x e A por arctan 1 // x , temos que

arctan x + arctan (1)/(x) = (pi)/(2)

Essa é a relação que queremos demonstrar!

Resposta

Demonstração.

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