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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.Exercícios Práticos - Ex. 24

Determine a inversa da função f x = 1 + 1 x , x ≠ 0 . Em seguida, mostre que f - 1 f x = f f - 1 x = x e que

d f - 1 d x ​ f x = 1 f ' x .

Passo 1

Vamos primeiro calcular a inversa da função. Nós isolamos o x na função e depois trocamos pelo y :

y = 1 + 1 x → y = x + 1 x

x y = x + 1 → x y - x = 1

x y - 1 = 1 → x = 1 y - 1 → y = 1 x - 1

Então, a inversa de f x é f - 1 x = 1 x - 1   ,   x ≠ 1  

Passo 2

Usando a função que encontramos no passo anterior, faremos as compostas...

f - 1 f x = 1 1 + 1 x - 1 = 1 x + 1 - x x = 1 1 x = x

f f - 1 x = 1 + 1 1 x - 1 = 1 + x - 1 = x

Sendo assim, f - 1 f x = f f - 1 x = x como queríamos mostrar.

Passo 3

Vamos fazer a derivada da função inversa:

d f - 1 d x = - 1 x - 1 2

Essa derivada em f ( x ) fica:

d f - 1 d x ​ f x =   - 1 1 + 1 x - 1 2 =   - 1 1 x 2 =   - x 2

Vamos calcular f ' ( x ) agora...

f ' x = - 1 x 2  

Sendo assim, como - x 2 = 1 - 1 x 2 , provamos que

d f - 1 d x ​ f x = 1 f ' x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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