Determine se a função dada é diferenciável em um valor x = x 0 , sendo que f está definida por fórmulas diferentes em lados diferentes de x 0 . Para isso, pode ser usado o resultado seguinte, que é uma consequência do Teorema do Valor Médio. Teorema: Seja f uma função contínua em x 0 e suponha que exista lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) . Então f é diferenciável em x 0 e f ' ( x 0 ) = lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) .Seja: f x = x 3 + 1 16 ,x1 2 3 4 x 2 ,x ≥ 1 2 Determine se f é diferenciável em x = 1 2 . Se for, encontre o valor da derivada nesse ponto.

A função é diferenciável em x = 1 e f ' 1 2 = 3 4 .

Enunciado

O primeiro passo é descobrir se a função é contínua em . Para isso, precisamos que:

Se isso acontecer, é contínua em .

Calculando o limite:

Onde:

Vamos olhar para os limites laterais e eles devem coincidir.

Limite lateral pela esquerda:

Limite lateral pela direita:

Opa, os limites laterais coincidiram, então:

Para a função ser contínua em :

Como vimos:

Agora, olhando para a função:

Quando , a função vale obedece essa equação: . Então:

Muito bom! Dessa forma, é contínua em , já que:

Agora, vamos olhar para o teorema do enunciado:

“Teorema: Seja uma função contínua em e suponha que exista . Então é diferenciável em e .”

Para saber se é diferenciável em , falta só que verificar se existe, pois já vimos que é contínua em .

Vamos calcular o limite:

Se , então:

Calculando os limites laterais:

Limite lateral pela esquerda:

Limite lateral pela direita:

Como os limites laterais coincidiram, o limite existe e:

Como vimos que é contínua em e existe, então é diferenciável em e, portanto:

A função é diferenciável em e .