Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 64
Use um recurso gráfico para fazer estimativas grosseiras dos intervalos nos quais e os encontre exatamente por diferenciação.
Passo 1
Primeiro ele pede pra gente usar recursos gráficos, então vamos atender o pedido né?
O gráfico desse cara é:
Bom, o que caracteriza a derivada da função em um ponto ser maior que zero? Se isso acontece, quer dizer que a função é crescente naquele ponto. Olhando pra esse gráfico, a gente pode perceber que a função vem crescendo até, mais ou menos, , onde a derivada é zero (reta tangente horizontal). Depois disso, ela começa a decrescer, passando pela origem e indo até , mais ou menos, onde a derivada dela é zero de novo (mais uma reta tangente horizontal). Logo depois ela volta a crescer ao infinito e além! Sabendo disso, podemos dizer que:
A função possui em ( e em .
Os intervalos são abertos no e porque a derivada ali não é negativa, mas também não é positiva: é zero! Beleza?
Passo 2
Como a gente consegue mostrar isso com diferenciação? Primeiro, vamos calcular a derivada dessa função:
Cara, queremos o intervalo em que essa derivada é positiva, certo? Então:
Resolvendo essa inequação:
Supondo positivo:
Supondo negativo:
Opa, se o tem que ser maior que e menor que , ele é qualquer número fora do intervalo entre e . Logo, agora podemos dizer com certeza, pois calculamos de fato isso, que:
A função possui em ( e em .
Resposta
A função possui em ( e em .