Enunciado

Determine se a função dada é diferenciável em um valor x = x 0 , sendo que f está definida por fórmulas diferentes em lados diferentes de x 0 . Para isso, pode ser usado o resultado seguinte, que é uma consequência do Teorema do Valor Médio. Teorema: Seja f uma função contínua em x 0 e suponha que exista lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) . Então f é diferenciável em x 0 e f ' ( x 0 ) = lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) .

Mostre que:

f x = x 2 + x + 1 ,       x ≤ 1 3 x ,       x > 1

f é contínua em x = 1 . Determine se f é diferenciável em x = 1 . Se for, encontre o valor da derivada nesse ponto.

Passo 1

O primeiro passo é descobrir se a função é contínua em x = 1 . Para isso, precisamos que:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

Se isso acontecer, f é contínua em x = 1 .

Passo 2

Calculando o limite:

lim x → 1 ⁡ f ( x )

Onde:

f x = x 2 + x + 1 ,       x ≤ 1 3 x ,       x > 1

Vamos olhar para os limites laterais e eles devem coincidir.

Limite lateral pela esquerda:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ ( x 2 + x + 1 ) = 3

Limite lateral pela direita:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ 3 x = 3

Opa, os limites laterais coincidiram, então:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 3

Passo 3

Para a função ser contínua em x = 1 :

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

Como vimos:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 3

Agora, olhando para a função:

f x = x 2 + x + 1 ,       x ≤ 1 3 x ,       x > 1

Quando x = 1 , a função vale obedece essa equação: x 2 + x + 1 . Então:

f 1 = 1 2 + 1 + 1 = 3

Muito bom! Dessa forma, f é contínua em x = 1 , já que:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f 1 = 3

Passo 4

Agora, vamos olhar para o teorema do enunciado:

“Teorema: Seja f uma função contínua em x 0 e suponha que exista lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) . Então f é diferenciável em x 0 e f ' ( x 0 ) = lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) .”

Para saber se f é diferenciável em x = 1 , falta só que verificar se lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) existe, pois já vimos que f é contínua em x = 1 .

Passo 5

Vamos calcular o limite:

lim x → x 0 ⁡ f ' ( x )

Se f x = x 2 + x + 1 ,       x ≤ 1 3 x ,       x > 1 , então:

f ' x = 2 x + 1 ,       x ≤ 1 3 ,       x > 1

Calculando os limites laterais:

Limite lateral pela esquerda:

lim x → 1 - ⁡ f ' x = lim x → 1 - ⁡ 2 x + 1 = 3

Limite lateral pela direita:

lim x → 1 + ⁡ f ' ( x ) = lim x → 1 + ⁡ 3 = 3

Como os limites laterais coincidiram, o limite existe e:

lim x → 1 ⁡ f ' ( x ) = 3

Passo 6

Como vimos que f é contínua em x = 1 e lim x → 1 ⁡ f ' ( x ) existe, então f é diferenciável em x = 1 e, portanto:

f ' 1 = lim x → 1 ⁡ f ' ( x ) = 3

Passo 7

Falta só esboçar o gráfico. Olhando para a função, de novo:

f x = x 2 + x + 1 ,       x ≤ 1 3 x ,       x > 1

Vemos que até o ponto x = 1 , essa função é uma parábola com concavidade voltada para cima e deslocada para esquerda, cortando o eixo y em 1 e não cortando o eixo x .

Depois de x = 1 , a função passa a ser uma reta f x = 3 x .

Nosso gráfico fica assim ó:

Agora, sim, acabou o problema!

Resposta

É contínua em x = 1 e f ' 1 = 3 .

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Determine a derivada de ordem n .d) f x = ln ⁡ x
Determine f ' , f ' ' e f ' ' ' .b) f x = 1 x