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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.8 - Ex. 1e

Determine f ' , f ' ' e f ' ' ' .

e) f (x) = x |x|

Passo 1

Primeiramente, escrevemos a função em duas setenças, por causa do módulo:

f (x) = {[[x (- x) , x < 0],[x (x) , x >= 0]])

f ( x ) = {[[- x^2 , x < 0],[x^2 , x >= 0]])

E então, derivamos a função f (x) , setença por setença:

f^' = [f (x)]^' = {[[[- x^2]^' , x < 0],[[x^2]^' , x > 0]])

f^' = {[[- 2 x , x < 0],[2 x , x >= 0]])

Perceba que as duas derivadas, à esquerda e à direita, coincidem quando x = 0 . Podemos resumir:

f^' = 2 |x|

Passo 2

Agora, derivamos f ' para obter f ' ' :

f^(' ') = [f^']^' = {[[[- 2 x]^' , x < 0],[[2 x]^' , x > 0]])

f^(' ') = {[[- 2 , x < 0],[2 , x > 0]])

Aqui, as derivadas laterais são diferentes quando x = 0 , portanto a derivada f^(' ') (0) não existe.

Passo 3

Por último, derivamos f^(' ') para obter f^(' ' ') :

f^(' ' ') = [f^(' ')]^' = {[[[- 2]^' , x < 0],[[2]^' , x > 0]])

f^(' ' ') = {[[0 , x < 0],[0 , x >= 0]])

Aqui as derivadas coincidem em todos os pontos:

f^(' ' ') = 0

Resposta

f^' = 2 |x|

f^(' ') = {[[- 2 , x < 0],[2 , x > 0]])

f^(' ' ') = 0

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