Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 55
Encontre as coordenadas de todos os pontos no gráfico de nos quais a reta tangente passa pelo ponto .
Passo 1
Beleza, vamos achar qual a reta que passa pelo ponto aqui. Para isso, vamos usar a seguinte equação da reta e perceber que, se ela é tangente à curva , a inclinação dela deve ser igual à derivada da curva no ponto em que elas se tocam:
Como queremos que passe pelo ponto :
Onde é a derivada da curva num ponto arbitrário , que é o ponto onde a reta será tangente à curva, ou seja, onde a reta e a curva se tocam, logo:
No ponto :
Substituindo na equação da reta:
Essa é a equação da reta que passa pelo ponto e também é tangente à , em um ponto , que iremos descobrir qual(is) é(são).
Passo 2
Bom, então é um ponto em comum tanto à curva quanto à reta , ou seja, quando nas duas funções, o valor de das duas deve coincidir (deve ser o )! Vamos substituir por e igualar as duas equações:
E
Igualando o :
Arrumando esse cara:
Opa, equação de segundo grau.... Bhaskara neles:
Resolvendo esse cara, encontramos as raízes:
E
Que são justamente os valores que , nosso ponto em que a reta toca na curva, pode assumir! E se já temos os valores de , podemos achar os valores de . Só substituir os ’s em , por exemplo.
Passo 3
Substituindo os pontos...
O primeiro valor de , será quando :
Então, nossa primeira resposta é o ponto .
O segundo valor de , será quando :
Então, nossa segunda resposta é o ponto .
Com isso, finalmente chegamos aos dois pontos ao longo de em que a reta tangente à essa curva nesse ponto também passa em . Ufa!
Resposta
e .