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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.3 - Ex. 16

(a) Determine uma função f tal que F → = ∇ f e (b) use a parte (a) para calcular ∫ c F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F → x , y , z = ( y 2 z + 2 x z 2 )   i ^ + 2 x y z   j ^ + x y 2 + 2 x 2 z   k ^

C : x = t ,     y = t + 1 ,     z = t 2 ,     0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Oi, galera, tudo certo?

Nessa questão temos um campo vetorial F → , e precisamos achar uma função potencial f de forma que:

F → = ∇ f

Ou seja, se chamarmos F → = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , temos:

P = f x

Q = f y

R = f z

Pra encontrarmos f , fazemos que:

P = f x ⇒ ∫ P d x = f

E como essa integral é só em função de x , a constante de integração vai depender de y e z . Pra encontrar o valor dela, vamos derivar f e fazer:

f y = Q

f z = R

Depois que acharmos f , vamos precisar calcular uma integral de linha, usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:

∫ C F → ⋅ d r → = f r → b - f r → a

Onde r → t , com a ≤ t ≤ b é uma parametrização de C .

Então vamos achar quem é r → b e r → a pra poder aplicar o teorema.

Bora??

Passo 2

(a)

Nosso campo vetorial é:

F → x , y , z = y 2 z + 2 x z 2 , 2 x y z   , x y 2 + 2 x 2 z

Ou seja:

P = y 2 z + 2 x z 2

Q = 2 x y z

R = x y 2 + 2 x 2 z

E

f = ∫ P d x = ∫ y 2 z + 2 x z 2 d x

Integrando em função de x , com y e z constantes:

f = x y 2 z + x 2 z 2 + g y , z

Nesse caso, a constante de integração depende de y , z , que são constantes nessa integral.

Passo 3

Agora vamos derivar f em função de y :

Q = f y = ∂ x y 2 z + x 2 z 2 + g y , z ∂ y

Quando derivamos em função de y , consideramos x e z constantes:

= 2 x y z + g y

Igualando a Q :

2 x y z = 2 x y z + g y

⇒ g y = 0

Ou seja, g é constante em função de y :

g y , z = g z

f =   x y 2 z + x 2 z 2 + g z

Passo 4

Por último, derivamos em função de z , com x e y constantes:

R = f z = ∂ x y 2 z + x 2 z 2 + g z ∂ z

= x y 2 + 2 x 2 z + g ' z

Igualando a R :

x y 2 + 2 x 2 z =   x y 2 + 2 x 2 z + g ' z

⇒ g ' z = 0

Então, g é uma constante qualquer. Pra simplificar, vamos escolher o 0 :

g z = 0

f =   x y 2 z + x 2 z 2

Passo 5

(b)

Agora precisamos encontrar a integral:

∫ C F → ⋅ d r → = f r → b - f r → a

Nossa parametrização da curva é:

C : x = t ,     y = t + 1 ,     z = t 2

0 ≤ t ≤ 1

Ou seja:

r → t = t , t + 1 , t 2

E os valores de r → a e r → b são, respectivamente:

r → 0 = 0 , 0 + 1 , 0 2 = 0,1 , 0

r → 1 = 1 , 1 + 1 , 1 2 = 1,2 , 1

Passo 6

A integral vai ser:

∫ C F → ⋅ d r → = f r → 1 - f r → 0

= f 1,2 , 1 - f 0,1 , 0

Lembrando que   f =   x y 2 z + x 2 z 2 . Então:

∫ C F → ⋅ d r → = 1 ∙ 2 2 ∙ 1 + 1 2 ∙ 1 2 - 0 ∙ 1 2 ∙ 0 + 0 2 ∙ 0 2

= 4 + 1 - 0 = 5

Resposta

  1. f =   x y 2 z + x 2 z 2 + C

∫ c F → ⋅ d r → = 5

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