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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 20

Determine o vetor tangente unitário T ( t ) no ponto com valor de parâmetro dado t.

r t = s e n 2 t   i + cos 2 ⁡ t j + t g 2 t   k       ,   t = π 4

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função vetorial:

r t = s e n 2 t   i + cos 2 ⁡ t j + t g 2 t   k

Queremos determinar o vetor tangente unitário T ( t ) no ponto t = π 4 .

Para isso, temos que saber que o vetor tangente unitário T ( t ) é dado por:

T t = r ' t r ' t

Onde r ' t é a derivada de r t . No denominador a gente tem o módulo dessa derivada (que também é um vetor).

Depois que descobrirmos isso, basta substituirmos o valor de t dado.

Passo 2

Vamos derivar primeiro o vetor r t . Para isso, a gente deriva cada termo.

Derivando o primeiro termo s e n 2 t , podemos expandir:

s e n 2 t   ' = s e n   t ⋅ s e n   t '

Aplicando a regra do produto:

s e n 2 t   ' = s e n   t ⋅ s e n   t ' + s e n   t ' ⋅ s e n   t

s e n 2 t   ' = s e n   t ⋅ cos ⁡ t + cos ⁡ t ⋅ s e n   t

s e n 2 t   ' = 2 ⋅ s e n   t ⋅ cos ⁡ t

Derivando o segundo termo de forma análoga:

cos 2 ⁡ t ' = cos ⁡ t ⋅ cos ⁡ t

cos 2 ⁡ t ' = cos ⁡ t ⋅ cos ⁡ t ' + cos ⁡ t ' ⋅ cos ⁡ t

cos 2 ⁡ t ' = cos ⁡ t ⋅ - s e n   t + - s e n   t ⋅ cos ⁡ t

cos 2 ⁡ t ' = - 2 cos ⁡ t ⋅ s e n   t

E, derivando o terceiro termo de forma análoga também:

t g 2 t   ' = t g   t ⋅ t g   t '

t g 2 t   ' = t g   t ⋅ sec 2 ⁡ t + t g   t ⋅ sec 2 ⁡ t

t g 2 t   ' = 2 ⋅ t g   t ⋅ sec 2 ⁡ t

Passo 3

Assim, aplicando no vetor r ' t , temos:

r ' t = 2 ⋅ s e n   t ⋅ cos ⁡ t   i - 2 cos ⁡ t ⋅ s e n   t   j + 2 ⋅ t g   t ⋅ sec 2 ⁡ t k

Dessa forma, aplicando o ponto t = π 4 , temos:

r ' t = 2 ⋅ s e n   π 4 ⋅ cos ⁡ π 4   i - 2 cos ⁡ π 4 ⋅ s e n   π 4   j + 2 ⋅ t g   π 4 ⋅ sec 2 ⁡ π 4 k

r ' π 4 = i - j + 4 k

Podemos também reescrever da seguinte forma:

r ' π 4 = 1 , - 1,4

Passo 4

A norma do vetor encontrado é:

1 , - 1,4 = 1 2 + - 1 2 + 4 2

1 , - 1,4 = 1 + 1 + 16

1 , - 1,4 = 3 2

Dividindo o vetor r ’ ( 0 ) pela sua norma temos um vetor unitário de mesma direção e sentido de r ’ :

T 0 = r ' 0 r ' 0

T 0 = 1 3 2 1 , - 1,4

Então o vetor procurado é o:

T 0 = 1 3 2 , - 1 3 2 , 4 3 2

Resposta

O vetor procurado é:

T 0 = 1 3 2 , - 1 3 2 , 4 3 2

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