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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.3 - Ex. 14

Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t = 0 na direção crescente de t .

r t = e 2 t cos ⁡ 2 t   i + 2 j + e 2 t s e n   2 t k

Passo 1

Ei, galerinha. Vamos reparametrizar a curva pelo comprimento de arco!

Primeiro, encontre a velocidade v ( t ) derivando r ( t ) . Depois, calcule a magnitude ∥ v ( t ) ∥ e integrar, vamos substituir o valor de t e substituir na curva original r ( t ) . Pronto, agora temos r ( s ) !

Fácil, né?

Passo 2

O primeiro passa desse exercício é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada. Temos:

r t = e 2 t cos ⁡ 2 t   i + 2 j + e 2 t s e n   2 t k

Derivada da primeira parte:

d d t ( e 2 t cos ⁡ 2 t   i )

A função acima pode ser visto como o produto entre duas funções: f t = e 2 t e g t = cos ⁡ ( 2 t ) . A regra do produto nos diz que a derivda do produto de duas funções é dada por:

f . g ' t = f ' t . g t + g t . g ' ( t )

Passo 3

Então, primeiro, vamos derivar f t = e 2 t em relação a t

f ' t = d d t ( e 2 t )

f ' t = 2 ( e 2 t )

Agora vamos derivar g t = cos ⁡ ( 2 t ) em relação a t .

g ' t = d d t cos ⁡ ( 2 t )

g ' t = - 2 sen ⁡ ( 2 t )

Passo 4

Agora, vamos aplicar a regra do produto:

d d t e 2 t cos ⁡ 2 t = 2 e 2 t . cos ⁡ 2 t + e 2 t . ( - 2 s e n   e 2 t )

d d t e 2 t cos ⁡ 2 t = 2 e 2 t cos ⁡ 2 t - 2 e 2 t s e n   e 2 t

Colocando e 2 t em evidencia, temos:

d d t e 2 t cos ⁡ 2 t = 2 e 2 t ( cos �� 2 t - s e n   e 2 t ) i

Passo 5

Derivada da segunda parte:

d d t 2   j = 0

Passo 6

Derivada da terceira parte:

d d t ( e 2 t s e n   2 t   k )

A função acima pode ser visto como o produto entre duas funções: f t = e 2 t e g t = s en ⁡ ( 2 t ) . A regra do produto nos diz que a derivda do produto de duas funções é dada por:

f . g ' t = f ' t . g t + g t . g ' ( t )

Passo 7

Então, primeiro, vamos derivar f t = e 2 t em relação a t

f ' t = d d t ( e 2 t )

f ' t = 2 ( e 2 t )

Agora vamos derivar g t = s en ⁡ ( 2 t ) em relação a t .

g ' t = d d t s en ⁡ ( 2 t )

g ' t = 2 cos ⁡ ( 2 t )

Passo 8

Agora, vamos aplicar a regra do produto:

d d t e 2 t sen ⁡ 2 t = 2 e 2 t . sen ⁡ 2 t + e 2 t . ( 2 cos ⁡ 2 t   )

d d t e 2 t s en ⁡ 2 t = 2 e 2 t sen ⁡ 2 t + 2 e 2 t c o s   2 t

Colocando e 2 t em evidencia, temos:

d d t e 2 t sen ⁡ 2 t = 2 e 2 t sen ⁡ 2 t + c o s   2 t   k

Passo 9

Podemos agora juntar todas as derivadas, sendo assim a derivada da função será:

r ' t = 2 e 2 t ( cos ⁡ 2 t - s e n   2 t )   i + 2 e 2 t ( c o s   2 t + s e n   2 t ) k

Agora podemos obter o módulo da derivada:

r ' t = 2 e 2 t cos ⁡ 2 t - s e n   2 t 2 + 2 e 2 t c o s   2 t + s e n   2 t 2

Colocando 2 e 2 t em evidência

r ' t = 2 e 2 t 2 [ cos ⁡ 2 t - s e n   2 t 2 + c o s   2 t + s e n   2 t 2 ]

Retirando o termo 2 e 2 t , da raiz quadrada

r ' t = 2 e 2 t [ cos ⁡ 2 t - s e n   2 t 2 + c o s   2 t + s e n   2 t 2 ]

Passo 10

Resolvendo os produtos notáveis

= 2 e 2 t cos 2 ⁡ 2 t - 2 s e n   2 t cos ⁡ 2 t + s e n 2 2 t + cos 2 ⁡ 2 t + 2 s e n   2 t cos ⁡ 2 t + s e n 2 2 t

Utilizando a relação trigonométrica c o s 2 2 t + s e n 2 2 t = 1 , temos

r ' t = 2 e 2 t 2 cos 2 ⁡ 2 t + 2   s e n 2 2 t

Colocando o termo 2 em evidência e utilizando novamente a relação trigonométrica c o s 2 2 t + s e n 2 2 t = 1 , obtemos.

r ' t = 2 e 2 t 2 ( cos 2 ⁡ 2 t +   s e n 2 2 t )

r ' t = 2 2 e 2 t

Passo 11

A função comprimento de arco é dada por

s t = ∫ 0 t | r ' t | d t

s ( t ) = ∫ 0 t 2 2 e 2 t   d t

s t = 2 e 2 t 0 t

s t = 2 e 2 t - 2

Passo 12

Partindo do passo anterior podemos obter uma expressão de t ( s ) . Temos:

s = 2 e 2 t - 2

Colocando e 2 t em evidência

e 2 t = s + 2 2

Aplicando o logaritmo natural aos dois lados da igualdade temos

2 t = l n ⁡ ( s 2 + 1 )

t = 1 2   l n ⁡ ( s 2 + 1 )

Passo 13

Substituindo t na equação vetorial original da curva, obtemos:

r t ( s ) = e 2 t cos ⁡ 2 t   i + 2 j + e 2 t s e n   2 t k

r t ( s ) = e 2 1 2   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) cos ⁡ [ 2 1 2   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) ]   i + 2 j + e 2 1 2   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) s e n   [ 2 1 2   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) ] k

∴

r t ( s ) = s 2 + 1 cos ⁡ [   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) ]   i + 2 j + s 2 + 1 s e n   [   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) ] k

Resposta

t ( s ) = s 2 + 1 cos ⁡ ln ⁡ s 2 + 1   i + 2 j + s 2 + 1 s e n   [ ln ⁡ s 2 + 1 ] k

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