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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 44

Use a fórmula do Exercício 42 para calcular a curvatura.

x = a cos ⁡ ω t , y = b sen ⁡ ω t

Passo 1

Fala ai galerinha. De boa?

Vamos entender o que a questão pede e como faremos para resolve-la? Se liga ai!

Vamos calcular a curvatura das funções x = a cos ⁡ ω t , y = b sen ⁡ ω t . Para isso

  1. Vamos utilizar a fórmula da curvatura dada no exercício 42

    2. κ t = x ' t y ' ' t - y ' t x ' ' t x ' t 2 + y 1 t 2 3 2

  2. Encontrar a primeira e a segunda derivada das equações x t e y ( t ) .
  3. Substituir na fórmula e calcular a curvatura.

Agora é só resolver!

Passo 2

Vamos começar calculando as primeiras derivadas:

x ' ( t ) = - a ω sen ⁡ ω t

y ' ( t ) = b ω cos ⁡ ω t

E as segundas derivadas:

x ' ' ( t ) = - a ω 2 cos ⁡ ω t

y ' ' ( t ) = - b ω 2 sen ⁡ ω t

Passo 3

Substituindo na formula da curvatura:

k = ( - a ω sen ⁡ ω t ) ⋅ ( - b ω 2 sen ⁡ ω t ) - ( b ω cos ⁡ ω t ) ⋅ ( - a ω 2 cos ⁡ ω t ) - a ω sen ⁡ ω t 2 + b ω cos ⁡ ω t 2 3 2

Simplificando a equação

k = a b ω 3 sen 2 ⁡ ω t + a b ω 3 cos 2 ⁡ ω t a 2 ω 2 sen 2 ⁡ ω t + b 2 ω 2 cos 2 ⁡ ω t 3 2

k = | a b ω 3 | a 2 ω 2 sen 2 ⁡ ω t + b 2 ω 2 cos 2 ⁡ ω t 3 / 2

Resposta

| a b ω 3 | a 2 ω 2 sen 2 ⁡ ω t + b 2 ω 2 cos 2 ⁡ ω t 3 / 2

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Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. (Use sua calculadora para aproximar a integral.) r t = t , e - t , t e - t , 1 ≤ t ≤ 3
Use a fórmula do Exercício 42 para calcular a curvatura. x = e t cos ⁡ t , y = e t sen ⁡ t
Trace o gráfico da curva com equações paramétricas x = cos ⁡ t , y = sen ⁡ t , z = sen ⁡ 5 t e calcule a curvatura no ponto ( 1,0 , 0 ) .
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