Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 38
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.
O sólido no primeiro octante sob o plano , acima da superfície e delimitada pela superfície , e .
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo na paz?
A questão pede pra gente achar o volume do sólido no primeiro octante limitado acima da superfície:
Pelas superfícies:
, e
E sob o plano:
O primeiro octante é a porção do espaço tridimensional onde todas as três coordenadas () são positivas. Em outras palavras, é a região no espaço onde .
Para achar o volume de um sólido abaixo de uma função aplicamos a integral:
Precisamos entender quem são os volumes 1 e 2, calcular seus valores e assim achar o volume que estamos procurando.
Para esse tipo de questão, vale analisarmos o diagrama da região plana no plano acima do qual o sólido se encontra. Esse plano é onde está a região , e como nossa integral dupla é em , é do gráfico do plano que vamos tirar os limites de integração para finalmente resolver a questão.
Depois, podemos resolver a integral dupla em relação a e a , usando a ordem que tornar a integral mais fácil. Daí é só resolvermos a integral dupla como uma integral iterada. Uma integral iterada é uma integral calculada sequencialmente, uma após a outra. Para resolver integrais duplas a gente começa “de dentro pra fora”.
Bora ver como vai ficar!
Passo 2
Vamos começar entendendo nossos limites de integração.
As restrições dadas no enunciado que já estão em função de e de , só precisamos plotar no nosso plano. Vamos isolar aqui:
Resolvendo a equação:
Como está no primeiro octante , temos que:
Assim, nossa região é:
Passo 3
Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:
Assim, a integral dupla pode ser escrita como:
Como o limite de integração de tem um termo que depende de , vamos colocar a integral em relação a “por dentro”, assim facilita nossos cálculos.
Como nosso sólido está limitado pelos planos:
E:
Podemos calcular a integral da subtração, daí teremos o volume .
Logo:
Vamos resolver a integral de dentro:
Agora, aplicando os limites de integração, temos:
Logo, substituindo, temos:
Passo 4
Agora é só resolver a integral que restou:
Fazendo as contas, temos: