(a) Determine o gradiente de f .

(b) Calcule o gradiente no ponto P .

(c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .

f(x, y) = y * ln(x)

P(1, -3)

u = 〈 -4/5, 3/5 〉

Passo 1

Oiii, belezinha?? Bom... a nossa questãozinha é bem direta... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x , y = y ln ⁡ x

Queremos primeiramente determinar o gradiente dessa função.

Para isso, primeiramente, encontraremos as derivadas parciais f x , f y das coordenadas da equação.

Com isso, poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula:

∇ f x , y =   f x , f y

Em seguida, queremos calcular o gradiente no ponto P 1 ,     - 3 . Para isso, basta substituirmos esses valores em x , y .

Por fim, queremos determinar a taxa de variação de f em P na direção do seguinte vetor:

u = - 4 5 , 3 5

Em outras palavras, essa taxa de variação é a derivada direcional, que é dada assim:

D u f =   ∇ f x , y ��� u

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais.

Para isso, basta lembrar que vamos derivar a nossa expressão em relação a variável que estamos tratando e vamos fazer todo o resto como constante.

Assim, a derivada em relação a x é dada por:

f x = ∂ ∂ x y ln ⁡ x ∴

f x = y ∂ ∂ x   ln ⁡ x ∴

f x = y x

De forma análoga, temos que a derivada em relação a y é dada por:

f y = ∂ ∂ y y ln ⁡ x ∴

f y = ln ⁡ x ∂ ∂ y y ∴

f y = ln ⁡ x

Assim, o nosso vetor gradiente tem a seguinte forma:

∇ f x , y = f x , f y ∴

∇ f x , y =   y x , ln ⁡ x

Passo 3

Agora vamos aplicar o ponto P no nosso vetor gradiente que acabamos de encontrar:

∇ f 1 , - 3 =   - 3 1 , ln ⁡ 1 ∴

∇ f 1 , - 3 =   - 3 , 0

Passo 4

Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u , como visto na fórmula apresentada no passo 1 :

D u f =   ∇ f x , y ⋅ u ∴

D u f 1 , - 3 =   - 3,0 - 4 5 , 3 5 ∴

D u f 1 , - 3 =   - 3 - 4 5 + 0 ⋅ 3 5 ∴

D u f 1 , - 3 = 12 5

Resposta

∇ f x , y =   y x , ln ⁡ x

∇ f 1 , - 3 =   - 3,0

D u f 1 , - 3 = 12 5

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