Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 8
(a) Determine o gradiente de .
(b) Calcule o gradiente no ponto .
(c) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Passo 1
Oiii, belezinha?? Bom... a nossa questãozinha é bem direta... o enunciado nos deu a seguinte função:
Queremos primeiramente determinar o gradiente dessa função.
Para isso, primeiramente, encontraremos as derivadas parciais das coordenadas da equação.
Com isso, poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula:
Em seguida, queremos calcular o gradiente no ponto . Para isso, basta substituirmos esses valores em .
Por fim, queremos determinar a taxa de variação de em na direção do seguinte vetor:
Em outras palavras, essa taxa de variação é a derivada direcional, que é dada assim:
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais.
Para isso, basta lembrar que vamos derivar a nossa expressão em relação a variável que estamos tratando e vamos fazer todo o resto como constante.
Assim, a derivada em relação a é dada por:
De forma análoga, temos que a derivada em relação a é dada por:
Assim, o nosso vetor gradiente tem a seguinte forma:
Passo 3
Agora vamos aplicar o ponto no nosso vetor gradiente que acabamos de encontrar:
Passo 4
Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário , como visto na fórmula apresentada no passo :