Use a regra da cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t .

z = sen(x) ⋅ cos(y)

x = pi * t, y = raiz(t)

Passo 1

Oie, vamos resolver juntos essa atividade.

Dada a função

z = sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ y

com x = π t e y = t , devemos determinar d z d t .

Para isso, devemos usar a regra da cadeia com relação às duas variáveis x e y . Isto é, d z d t será obtido a partir da soma das derivadas parciais.

Veja:

d z d t =   ∂ z ∂ x ⋅ d x d t + ∂ z ∂ y ⋅ d y d t

Deveremos então começar as derivadas parciais de z e depois fazermos as derivadas das parametrizações.

Passo 2

Uma vez compreendida a maneira como a função z é composta, basta aplicarmos a regra da cadeia. Primeiro vamos começar encontrando z x :

z = sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ y

Derivando em relação a apenas x :

z x = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y

Agora vamos então encontrar z y e dessa vez iremos derivar apenas em relação a y :

z = sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ y

z y = - sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ y

Agora iremos encontrar as derivadas das parametrizações:

x = π t   ,   y = t

temos então:

x = π t

x ' = π

E para y :

y = t

y ' = 1 2 t

Vamos agora substituir na formula:

d z d t =   ∂ z ∂ x ⋅ d x d t + ∂ z ∂ y ⋅ d y d t

d z d t = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y ⋅ π - sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ y ⋅ 1 2 t

Resposta

d z d t = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y ⋅ π - sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ y ⋅ 1 2 t

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