Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 6d
Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.
Passo 1
A questão pede para acharmos soluções da equação diferencial parcial dada:
A dica para resolver problemas assim é reescrever a equação como um produto escalar:
Ou ainda,
Passo 2
Como o gradiente de é perpendicular às curvas de nível para todo no domínio de e, neste caso, temos que o gradiente também é perpendicular ao vetor , temos que, em todos os pontos, o vetor é tangente às curvas de nível.
Note que agora o vetor tangente não é constante, de modo que as curvas de nível de não serão retas!
Passo 3
Observe que se fizermos o produto escalar:
Assim, o vetor tangente é sempre perpendicular ao vetor “posição”. Que curva satisfaz essa propriedade? A circunferência!
Portanto, as curvas de nível dessa função são do tipo
Desta forma, o valor da função no ponto depende apenas de qual circunferência o ponto está, isto é, depende apenas da distância deste ponto até a origem. Assim, temos que a solução mais geral possível para a equação diferencial parcial é do tipo
onde é uma função derivável.