Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.

y * (∂f/∂x) - x * (∂f/∂y) = 0

Passo 1

A questão pede para acharmos soluções da equação diferencial parcial dada:

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0

A dica para resolver problemas assim é reescrever a equação como um produto escalar:

y ,   - x ⋅ ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y = 0

Ou ainda,

y ,   - x ⋅ ∇ f = 0

Passo 2

Como o gradiente de f é perpendicular às curvas de nível para todo ( x , y ) no domínio de f e, neste caso, temos que o gradiente também é perpendicular ao vetor ( y , - x ) , temos que, em todos os pontos, o vetor ( y , - x ) é tangente às curvas de nível.

Note que agora o vetor tangente não é constante, de modo que as curvas de nível de f não serão retas!

Passo 3

Observe que se fizermos o produto escalar:

x , y ⋅ y , - x = x y - x y = 0

Assim, o vetor tangente é sempre perpendicular ao vetor “posição”. Que curva satisfaz essa propriedade? A circunferência!

Portanto, as curvas de nível dessa função são do tipo

x 2 + y 2 = R 2

Desta forma, o valor da função no ponto x , y depende apenas de qual circunferência o ponto ( x , y ) está, isto é, depende apenas da distância deste ponto até a origem. Assim, temos que a solução mais geral possível para a equação diferencial parcial é do tipo

f x , y = g x 2 + y 2 ,

onde g é uma função derivável.

Resposta

f x , y = g x 2 + y 2

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