(a) Determine o gradiente de f .

(b) Calcule o gradiente no ponto P .

(c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .

f(x, y) = 5xy^2 - 4x^3y

P(1,2)

u = 〈 5 / 13, 12 / 13 〉

Passo 1

Oiii, belezinha?? Bom... a nossa questãozinha é bem direta... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x , y = 5 x y 2 - 4 x 3 y

Queremos primeiramente determinar o gradiente dessa função.

Para isso, primeiramente, encontraremos as derivadas parciais f x , f y das coordenadas da equação.

Com isso, poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula:

∇ f x , y =   f x , f y

Em seguida, queremos calcular o gradiente no ponto P 1,2 . Para isso, basta substituirmos esses valores em x , y .

Por fim, queremos determinar a taxa de variação de f em P na direção do seguinte vetor:

u = 5 13 , 12 13

Em outras palavras, essa taxa de variação é a derivada direcional, que é dada assim:

D u f =   ∇ f x , y ⋅ u

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais.

Para isso, basta lembrar que vamos derivar a nossa expressão em relação a variável que estamos tratando e vamos fazer todo o resto como constante.

f x = ∂ ∂ x   5 x y 2 - 4 x 3 y ∴

f x = 5 y 2 ∂ ∂ x   x - 4 y ∂ ∂ x   x 3 ∴

f x = 5 y 2 - 12 x 2 y

De forma análoga, temos que a derivada em relação a y é dada por:

f y = ∂ ∂ y   5 x y 2 - 4 x 3 y ∴

f y = 5 x ∂ ∂ y y 2 - 4 x 3 ∂ ∂ y y ∴

f y = 10 x y - 4 x 3

Assim, o nosso vetor gradiente tem a seguinte forma:

∇ f x , y = f x , f y ∴

∇ f x , y =   5 y 2 - 12 x 2 y , 10 x y - 4 x 3

Passo 3

Agora vamos aplicar o ponto P no nosso vetor gradiente:

∇ f 1,2 =   5 ⋅ 2 2 - 12 ⋅ 1 2 ⋅ 2 , 10 ⋅ 1 ⋅ 2 - 4 ⋅ 1 3 ∴

∇ f 1,2 =   20 - 24 , 20 - 4 ∴

∇ f 1,2 =   - 4 ,   16

Passo 4

Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u , como visto na fórmula apresentada no passo 1 :

D u f =   ∇ f x , y ⋅ u ∴

D u f 1,2 =   - 4 ,   16 5 13 , 12 13 ∴

D u f 1,2 =   - 4 ,   16 5 13 , 12 13 ∴

D u f 1,2 =   - 4 ⋅ 5 13 + 16 ⋅ 12 13 ∴

D u f 1,2 = 172 13

Resposta

∇ f x , y =   5 y 2 - 12 x 2 y , 10 x y - 4 x 3

∇ f 1,2 =   - 4 ,   16

D u f 1,2 = 172 13

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