Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 2
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto sabendo que e que sua imagem está contida na curva de nível . Qual a equação da reta normal a , neste ponto?
Passo 1
A questão pede para determinar a reta tangente e a reta normal a curva no ponto . Uma informação importante é que a imagem da curva está contida na curva cuja equação é . Desta forma, o que precisamos achar as equações das retas tangente e normal à essa curva no ponto .
Poderíamos usar derivação implícita para achar a derivada da curva e assim tirar o coeficiente angular, mas essa é a abordagem que usamos em cálculo 1. Nesta seção foi apresentado um método usando o vetor gradiente.
Sabemos que o gradiente de uma função de duas variáveis é ortogonal as curvas de nível. Assim, consideremos a função , de modo que a imagem de está contida na curva de nível dessa função. Calculando o gradiente:
Usando e :
Este é o vetor diretor da reta normal.
Passo 2
O vetor gradiente é ortogonal à curva de nível, mas queremos o vetor tangente. O que fazer? Devemos achar um vetor que que será perpendicular ao gradiente. Para isso, o produto escalar deles deve ser zero:
Portanto,
Como só estamos interessados na direção da reta tangente quando procuramos o vetor diretor da reta tangente, vamos tomar , de modo que o vetor diretor será:
Sabemos que a equação da reta que passa pelo ponto com vetor diretor é dada por:
Assim, a equação da reta tangente será
Passo 3
Para a reta normal, o vetor diretor é o próprio gradiente. Assim,
Resposta
Reta tangente:
Reta normal: