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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 9

  1. Determine o gradiente de f .
  2. Calcule o gradiente no ponto P .
  3. Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u

f x , y , z = x e 2 y z

P 3,0 , 2

u = 2 3 ,   - 2 3 , 1 3

Passo 1

Oie, vamos de resolução de mais uma questão comigo?

Veja que temos algumas coisas para fazer com a função:

f x , y , z = x e 2 y z

Primeiro iremos encontrar o gradiente de f , isso a gente faz dessa forma:

∇ f = f x ,   f y ,   f z

Isso é, calculando as derivadas parciais de cada variável.

Depois iremos calcular o valor do gradiente no ponto:

P 3,0 , 2

Iremos fazer isso substituindo os valores das coordenadas na equação que encontrarmos para o gradiente.

Por último iremos encontrar a taxa de variação de f em P na direção do vetor:

u = 2 3 ,   - 2 3 , 1 3

Fazendo isso calculando a derivada direcional:

D u f = ∇ f ⋅ u

Isso é, o produto escalar entre o gradiente nesse ponto e o vetor unitário u .

Passo 2

  1. Primeiro achamos as derivadas parciais:

    2. f x , y , z = x e 2 y z

    Aqui deveremos derivar em relação a x :

    f x = e 2 y z

    Agora aqui precisamos aplicar a regra da cadeia para derivar em relação a y :

    f y = x e g y ' ⋅ 2 y z '

    f y = 2 x z e 2 y z

    Agora faremos o mesmo para encontrar f z :

    f x , y , z = x e 2 y z

    f z = x e g z ' ⋅ 2 y z '

    f z = 2 x y e 2 y z

    O gradiente é então:

    ∇ f x , y , z =   〈 f x , f y , f z 〉 =   〈 e 2 y z , 2 x z e 2 y z , 2 x y e 2 y z 〉

    Passo 3

  2. Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

    3. ∇ f x , y , z =   〈 f x , f y , f z 〉 =   〈 e 2 y z , 2 x z e 2 y z , 2 x y e 2 y z 〉

    Aplicando o ponto P 3,0 , 2 :

    ∇ f 3,0 , 2 = e 2 ⋅ 0 ⋅ 2 , 2 ⋅ 3 ⋅ 2 e 2 ⋅ 0 ⋅ 2 , 2 ⋅ 3 ⋅ 0 e 2 ⋅ 0 ⋅ 2

    Temos então:

    ∇ f 3,0 , 2 =   〈 1,12,0 〉

    Passo 4

  3. Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u , como visto na fórmula apresentada no passo 1:

D u f = ∇ f ⋅ u

Substituindo o que já encontramos:

D u f 3,0 , 2 = 1,12,0 ⋅ 2 3 , - 2 3 , 1 3

Realizando esse produto escalar, teremos:

D u f 3,0 , 2 = 1 ⋅ 2 3 - 12 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 1 3

Temos então:

D u f 3,0 , 2 = - 22 3

Resposta

  1.   〈 e 2 y z , 2 x z e 2 y z , 2 x y e 2 y z 〉
  2. 〈 1,12,0 〉
  3. - 22 3
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