Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 38
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.
Exercício
Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é dada por 64 cm².
Passo 1
Hello, vou te ajudar a resolver essa atividade hoje meu brother.
Basicamente a gente precisa utilizar os multiplicadores de Lagrange para resolver a atividade . A atividade é a seguinte:
Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é dada por 64 cm².
Para utilizarmos os multiplicadores de Lagrange, nos devemos satisfazer a igualdade:
Em que é o gradiente da função em que buscamos maximizar e é o gradiente da função de limitação.
A função para essa questão é dada por:
Que é o volume, e a sua limitação é:
Que é a condição que queremos da sua área total.
Então iremos encontrar os gradientes, e iremos satisfazer a igualdade, após isso iremos utilizar da equação de para resolver um sistema, esse sistema nos dará os pontos críticos, eles serão utilizados para encontrar o volume máximo na função do volume.
Sei que pareceu confuso, mas na hora da resolução iremos fazer tudo passo a passo e você irá se ligar em tudo.
Passo 2
Primeiro iremos encontrar as derivadas parciais que compõem o gradiente:
E
E
Agora fazemos o mesmo para :
E
E
Teremos então a igualdade:
Passo 3
Satisfazendo essa igualdade:
E por último:
Subtraindo de :
Subtraindo de :
O que implica:
Ou
Usando e :
Usando a condição de limitação e as equações e :
Sendo assim:
Então as dimensões são essas.