Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 40
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.
Exercício 50.
Passo 1
Falaee, tudo tranquilinho?? Bom... o enunciado do exercício nos diz o seguinte:
“A base de um aquário com volume é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.”
Para determinar as dimensões do aquário, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!
Mas que método é esse???
Então... para determinar os valores máximo e mínimo de sujeitos à restrição (supondo que esses valores extremos existam e que sobre a superfície ), então:
Esse é o nosso multiplicador de Lagrange!!!
Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de (ou seja, ) e depois os de (ou seja, ).
Em seguida, iremos calcular o valor de utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição encontraremos os valores que desejamos!!
Pera... mas quem é e quem é nossa restrição ??
Bom... sabemos que o custo total será a nossa função , que é dada por:
Obs: veja que faz sentido, visto que o custo da ardósia equivale a cinco vezes o preço do vidro e os lados são dados pela soma .
E a nossa função será o volume do aquário. Assim, podemos chamar ela assim:
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!
Primeiro vamos para a função :
Para calcular o gradiente , basta aplicarmos as derivadas parciais!!
Derivando em relação a , aplicando a Regra da Potência, temos:
De forma análoga, derivando em relação a :
E, para :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 3
Agora vamos para a função :
Derivando com relação a , aplicando a Regra da Potência, obtemos:
Derivando em relação a de forma análoga:
E, para :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 4
Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um que satisfaça a equação.
Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:
Daí, vamos tirar que:
Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉
Passo 5
Bom... isolando e igualando as equações e do sistema, temos:
Isso nos dá dois resultados:
Ou
Maaaaassss não pode ser zero!!
Assim, só nos resta dizer que ! 😉
Passo 6
Sabendo que e, fazendo a mesma coisa com as equações e do sistema, obtemos:
Simplificando a expressão:
Pronto!! Já temos as dimensões!! Agora vamos aplicar em 😉
Passo 7
Sabemos que:
E, da nossa função , temos:
Substituindo os valores, encontramos o menor volume :
Com esses valores, podemos deixar todas as dimensões em função de .
Passo 8
Isolando e (pois são iguais), teremos:
E, isolando , temos:
😉