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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 24

Determine qual das hipóteses do teorema do valor médio não é satisfeita. Faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) e da reta que passa pelos pontos a ,   f a e b ,   f b .

f x = 2 x + 3 ,   s e   x < 3 15 - 2 x ,   s e   x ≥ 3 ,   a = - 1 ,   b = 5

Passo 1

Observe que para x ∈ [ - 1,3 ) temos f x = 2 x + 3 . Logo f é contínua por ser uma função polinomial. E para x ∈ ( 3 ,   5 ] temos f x = 15 - 2 x . Logo f é contínua por ser uma função polinomial. Precisamos verificar quando nos aproximamos de x = 3 . Assim:

lim x → 3 + ⁡ f x = lim x → 3 + ⁡ 15 - 2 x = 15 - 2 3 = 15 - 6 = 9

lim x → 3 - ⁡ f x = lim x → 3 + ⁡ 2 x + 3 = 2 3 + 3 = 6 + 9 = 9

f 3 = 15 - 2 3 = 9

Como lim x → 3 + ⁡ f x = lim x → 3 - ⁡ f x = f ( 3 ) , temos que f é contínua em x = 3 . Portanto, f é continua no intervalo [ - 1 ,   5 ] .

Passo 2

Pelas mesmas justificativas usadas na continuidade, conseguimos garantir que f é derivável em ( - 1,3 ) e ( 3 ,   5 ) . Precisamos verificar em x = 3 . Assim, da definição de derivada, temos:

f + ' 3 = l i m ⁡ x → 3 + f x - f 3 x - 3 ⇒  

f + ' 3 = l i m ⁡ x → 3 + 15 - 2 x - 9 x - 3 ⇒

f + ' 3 = l i m ⁡ x → 3 + 6 - 2 x x - 3 ⇒

f + ' 3 = l i m ⁡ x → 3 + - 2 ( x - 3 ) x - 3 ⇒

f + ' 3 = l i m ⁡ x → 3 + - 2 ⇒

f + ' 3 = - 2

f - ' 3 = l i m ⁡ x → 3 - f x - f 3 x - 3 ⇒  

f - ' 3 = l i m ⁡ x → 3 - 2 x + 3 - 9 x - 3 ⇒

f - ' 3 = l i m ⁡ x → 3 - 2 x - 6 x - 3 ⇒

f - ' 3 = l i m ⁡ x → 3 - 2 ( x - 3 ) x - 3 ⇒

f - ' 3 = l i m ⁡ x → 3 - 2 ⇒

f - ' 3 = 2

Como f + ' 3 ≠ f - ' 3 , temos que f não é derivável em x = 3 . Logo não em derivável no intervalo - 1 ,   5 .

Passo 3

Vamos observar o comportamento de f no extremo do intervalo [ - 1 ,   5 ] .

→ x = - 1 :

f - 1 = 2 - 1 + 3 ⇒

f - 1 = - 2 + 3 ⇒

f - 1 = 1 ⇒

→ x = 5 :

f 5 = 15 - 2 ( 5 ) ⇒

f 5 = 15 - 10 ⇒

f 5 = 5 ⇒

Vamos determinar a equação da reta que passa por ( - 1 ,   1 ) e 5 ,   5 . Seja m a inclinação desta reta, temos:

m = 5 - 1 5 - - 1 ⇒

m = 4 6 ⇒

m = 2 3

Logo a equação da reta será:

y - 5 = 2 3 x - 5 ⇒

y - 5 = 2 x 3 - 10 3 ⇒

y = 2 x 3 - 10 3 + 5 ⇒

y = 2 x 3 + - 10 + 15 3 ⇒

y = 2 x 3 + 5 3

Resposta

Logo, f x = 2 x + 3 ,   s e   x < 3 15 - 2 x ,   s e   x ≥ 3 ,   restrita ao intervalo [ - 1 ,   5 ] não satisfaz uma das hipóteses do teorema do valor médio (não é derivável). Esboço do gráfico de f e da reta que passa por ( - 1 ,   1 ) e 5 ,   5 :

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18.a. Demonstre que f ( x ) = x / ( x + 1 ) é crescente em cada intervalo de seu domínio.
17.a. Demonstre que a equação x 4 + 2 x 2 - 2 = 0 tem exatamente uma solução em [ 0,1 ] .
18.b. Demonstre que f ( x ) = x 3 + 2 x não possui valores máximo ou mínimo locais.
22. Calcule a primeira derivada de f ( x ) = x 2 / ( x 2 + 1 ) e g ( x ) = - 1 / ( x 2 + 1 ) . O que pode ser concluído sobre os gráficos dessas funções?
21. Demostre que d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1 mesmo que x x + 1 ≠ - 1 x + 1 Isso não contradiz o corolário do valor médio? Justifique sua resposta.