Determine qual das hipóteses do teorema do valor médio não é satisfeita. Faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) e da reta que passa pelos pontos a ,f a e b ,f b . f x = 2 x + 3 ,s ex3 15 - 2 x ,s ex ≥ 3 ,a = - 1 ,b = 5

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 24

Determine qual das hipóteses do teorema do valor médio não é satisfeita. Faça um esboço do gráfico de e da reta que passa pelos pontos e .

Passo 1

Observe que para temos . Logo é contínua por ser uma função polinomial. E para temos . Logo é contínua por ser uma função polinomial. Precisamos verificar quando nos aproximamos de . Assim:

Como , temos que é contínua em . Portanto, é continua no intervalo .

Passo 2

Pelas mesmas justificativas usadas na continuidade, conseguimos garantir que é derivável em e . Precisamos verificar em . Assim, da definição de derivada, temos:

Como , temos que não é derivável em . Logo não em derivável no intervalo

Passo 3

Vamos observar o comportamento de no extremo do intervalo .

Vamos determinar a equação da reta que passa por e . Seja a inclinação desta reta, temos:

Logo a equação da reta será:

Resposta

Logo, restrita ao intervalo não satisfaz uma das hipóteses do teorema do valor médio (não é derivável). Esboço do gráfico de e da reta que passa por e

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18.a. Demonstre que f ( x ) = x / ( x + 1 ) é crescente em cada intervalo de seu domínio.

17.a. Demonstre que a equação x 4 + 2 x 2 - 2 = 0 tem exatamente uma solução em [ 0,1 ] .

18.b. Demonstre que f ( x ) = x 3 + 2 x não possui valores máximo ou mínimo locais.

22. Calcule a primeira derivada de f ( x ) = x 2 / ( x 2 + 1 ) e g ( x ) = - 1 / ( x 2 + 1 ) . O que pode ser concluído sobre os gráficos dessas funções?

21. Demostre que d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1 mesmo que x x + 1 ≠ - 1 x + 1 Isso não contradiz o corolário do valor médio? Justifique sua resposta.