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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 5

Nos exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

5. ∫ 2 4 d t 16 - t ²

Passo 1

Então pessoal, o enunciado já nos deu spoiler de que se trata de uma integral imprópria, mas para termos certeza, se aplicarmos o limite de integração superior, que é 4 , veremos que de fato a função apresenta uma descontinuidade. Como a descontinuidade ocorre no limite de integração superior, temos que resolver essa integral utilizando a seguinte definição:

∫ a b f x d x = lim t → b - ⁡ ∫ a t f ( x ) d x

Se escrevermos a integral nesses moldes, teremos:

∫ 2 4 d t 16 - t ² = lim t → 4 - ⁡ ∫ 2 t d t 16 - t ²

Passo 2

Essa integral que escrevemos no passo 1 não é tão difícil de ser resolvida, pessoal. Se trata de uma integral manjada, isto é, é uma integral tabelada! O resultado dela é:

∫ 2 t d t 16 - t ² = a r c   s e n   t 4 t 2

∴ ∫ 2 t d t 16 - t ² = a r c   s e n   t 4 - a r c   s e n   2 4

Aplicando o limite nesse resultado, teremos:

lim t → 4 - ⁡ ∫ 2 t d t 16 - t ² = lim t → 4 - ⁡ a r c   s e n   t 4 - a r c   s e n   2 4

∴ ∫ 2 4 d t 16 - t ² = 1 2 π - 1 6 π = 1 3 π

Resposta

∫ 2 4 d t 16 - t ² = 1 3 π

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