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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 13

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ - ∞ ∞ e - x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, o limite é infinito nos dois extremos, assim, temos que

∫ - ∞ ∞ e - x   d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 e - x   d x + lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b e - x   d x

Para que a integral seja convergente, os dois limites devem existir!

Note que na primeira integral temos que x < 0 , de modo que x = - x . Já na segunda, x > 0 , de modo que x = - x . Assim, temos que

∫ - ∞ ∞ e - x   d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 e x   d x + lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b e - x   d x

Passo 2

Calculando as integrais, temos que

∫ a 0 e x   d x = e x a 0 = 1 - e a

∫ 0 b e - x   d x = - e - x 0 b = - e - b - 1 = 1 - e - b

Passo 3

Agora vamos tomar os limites. Primeiro com a → - ∞ :

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 e x   d x = lim a → - ∞ ⁡ 1 - e a = 1 - 0 = 1

Para b → ∞ :

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b e - x   d x = lim b → ∞ ⁡ 1 - e - b = 1 - 0 = 1

Portanto, os dois limites existem e são finitos, de modo que a integral converge:

∫ - ∞ ∞ e - x   d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 e x   d x + lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b e - x   d x = 1 + 1 = 2

Resposta

2

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