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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 36

Se a reta normal à curva y = ln ⁡ x no ponto x 1 , ln ⁡ x 1 intercepta o eixo x no ponto cuja abscissa é a , prove que lim x 1 → + ∞ ⁡ a - x 1 = 0

Passo 1

Vamos começar achando a reta normal a curva em x 1

A equação da reta é:

y = m x + p

Onde o coeficiente angular m , vai ser:

m . f ' x 1 = - 1

Temos que achar a derivada da curva em x 1

f x = y = ln ⁡ x

Vamos ter:

f ' x = 1 x

Entao:

f ' x 1 = 1 x 1

E isso nos diz que:

m . 1 x 1 = - 1

Portanto:

m = - x 1

Passo 2

Agora que temos m , vamos achar p , substituindo o ponto da equação da reta:

y = - x 1 x + p

O ponto é x 1 , ln ⁡ x 1 :

ln ⁡ x 1 = - x 1 2 + p

p = ln ⁡ x 1 + x 1 2

Vamos ter então:

y = - x 1 x + ln ⁡ x 1 + x 1 2

Passo 3

A abscissa do ponto que corta o eixo x é o valor de x quando y = 0 , vamos achar esse valor:

0 = - x 1 x + ln ⁡ x 1 + x 1 2

x 1 x = ln ⁡ x 1 + x 1 2

x = ln ⁡ x 1 + x 1 2 x 1

x = ln ⁡ x 1 x 1 + x 1

Logo

a = ln ⁡ x 1 x 1 + x 1

Vamos ver o limite que ele pediu agora

Passo 4

Ele quer:

lim x 1 → + ∞ ⁡ a - x 1

O limite vai ficar:

lim x 1 → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 1 x 1 + x 1 - x 1 = lim x 1 → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 1 x 1

Subsitutindo o valro de x 1

lim x 1 → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 1 x 1 = ln ⁡ ∞ ∞ = ∞ ∞

Opa, deu uma indeterminação ∞ ∞ , vamos usar a regra de L’Hospital:

lim x 1 → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 1 x 1 = lim x 1 → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 1 ' x 1 ' = lim x 1 → + ∞ ⁡ 1 x 1 1 = lim x 1 → + ∞ ⁡ 1 x 1 = 1 ∞ = 0

Logo, o limite que ele pediu vai ser 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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