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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 107

Determine a integral indefinida (a primitiva mais geral). Verifique suas respostas por derivação.

∫ sec 2 ⁡ s 10 d s

Passo 1

Para resolver essa integral, utilizaremos a seguinte mudança de variável:

u = s 10

Logo,

d u = d s 10

Passo 2

Portanto, temos:

∫ sec 2 ⁡ s 10 d s = ∫ sec 2 ⁡ u . 10 d u = 10 ∫ sec 2 ⁡ u d u

Sabemos que a primitiva de sec 2 ⁡ u é t g   u   . Veja:

f x = t g u = s e n   u c o s   u  

f ' x = cos ⁡ u . cos ⁡ u - s e n   u . ( - s e n   u ) cos 2 ⁡ u = 1 cos 2 ⁡ u = sec 2 ⁡ u

Portanto,

∫ sec 2 ⁡ u d u = t g u + c

Passo 3

Assim, temos:

∫ sec 2 ⁡ s 10 d s = 10 ∫ sec 2 ⁡ u d u = 10 . t g u + c

Substituindo de volta, o valor de u, temos:

10 . t g u + c = 10 t g s 10 + c

Onde c é uma constante.

Passo 4

Conferindo por derivação:

f x = 10 t g s 10 + c

f ' x = 10 . sec 2 ⁡ s 10 . 1 10 = sec 2 ⁡ s 10

Vemos, portanto, que a primitiva está correta!

Resposta

f x = 10 t g s 10 + c

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