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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 1t

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

f x = ln ⁡ x x

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar f ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio, da função logarítmica natural e da divisão:

x n ' = n x n - 1

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Vamos então aplicar:

f ' x = ln ⁡ x x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = ln ⁡ x ' x - ln ⁡ x x ' x 2 = 1 x x - ln ⁡ x x 1 - 1 x 2 = 1 - ln ⁡ x x 0 x 2 = 1 - ln ⁡ x x 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x , o denominador vai ser sempre positivo, vamos então analisar o numerador igualando-o a zero:

1 - ln ⁡ x = 0 → ln ⁡ x = 1 → x = e

Vamos analisar o sinal da expressão:

Temos que f ' x > 0 , vamos ter que um ponto de descontinuidade em 0 devido ao denominador, assim:

0 , e

E em f ' x < 0 :

e , + ∞

Assim:

f é estritamente crescente em 0 , e

f é estritamente decrescente em e , + ∞

Passo 3

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0

lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

f é estritamente crescente em 0 , e

f é estritamente decrescente em e , + ∞

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55. Em cada parte, encontre funções f e g que sejam crescentes em - ∞ ,+ ∞ e com as quais f - g tem a propriedade indicada.a) f - g é decrescente em - ∞ ,+ ∞ .
56. Em cada parte, encontre funções f e g que sejam positivas e crescentes em - ∞ ,+ ∞ e com as quais f g tem a propriedade indicada.c) f g é crescente em - ∞ ,+ ∞ .
47-48. Use um recurso computacional para gerar os gráficos de f ' e f ' ' no intervalo indicado; use os gráficos para estimar as coordenadas x dos pontos de inflexão de f , os intervalos nos quais f é
Use a definição 4.1.1 para provar que f x = 1 x é decrescente em 0 ,+ ∞ .
Use a definição 4.1.1 para provar que f x = x 2 é crescente em 0 ,+ ∞ .