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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 15n

Dê o domínio e esboce o gráfico.

n ) y = (1)/(( x + 1 )^2)

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão, vamos lá?

Essa função é do tipo função racional f (x) = (p (x))/(q (x)) . Se vocês não se lembrar dela, é só dar uma olhadinha no exemplo 3 do livro texto, ok?

O domínio de uma função racional do tipo f (x) = (p (x))/(q (x)) tem seu domínio dado por:

D o m_f = {x in R| q (x) != 0 }

Ou seja, para nossa função q (x) = ( x + 1 )^2 , temos que o domínio vai ser onde:

q (x) = ( x + 1 )^2 != 0 :. x != - 1

Assim o domínio pode ser escrito como:

D o m_f = {x in R| x != - 1 }

Passo 2

Mas e a cara dela? Essa função tem a mesma cara de uma hipérbole, no entanto, toda parte de baixo, ou seja, negativa, passa a ser positiva, pois temos um ( x + 1 )^2 embaixo. Outra coisa importante da gente observar é que a cara dela vai ser muito parecida com o gráfico do exercício 15 i , no entando deslocado uma unidade para a esquerda. Vai ser como se aquele gráfico lá tivesse criado perninhas e dado todo ele um passo pra esquerda.

Mas temos que fazer uma análise mais formal disso =)

Vamos ao esboço do gráfico?

Vamos primeiro entender o que acontece para x > 0 : à medida que x vai aumentando, y = 1 // ( x + 1 )^2 vai se aproximando de zero, por exemplo:

  • x = 9 ; y = (1)/(( 9 + 1 )^2) = (1)/(100) = 0,01
  • x = 99 ; y = (1)/(( 99 + 1 )^2) = (1)/(10000) = 0,0001

E assim por diante. À medida que x vai se aproximando de - 1 , y vai aumentando, saca só:

  • x = - 1,5 ; y = (1)/(( - 1,5 + 1 )^2) = (1)/((0,5)^2) = 4
  • x = - 1,1 ; y = (1)/((- 1,1 + 1)^2) = 100

E assim por diante. E esse comportamento se repete (sempre fornecendo valores positivos de y ) quando olharmos para valores de x < 0 .

Passo 3

Para esboçar melhor o gráfico, vou escolher quatro valores de x e calcular cada respectivo valor de y :

Então os pontos que pertencem ao gráfico são: (0 , 1) ; (1,1 // 4) ; ( 2,1 // 3 ) e ( - 2,1 ) . Agora sabendo desses pontos e do comportamento geral da função (descrevemos ali no passo anterior) podemos esboçar o gráfico:

Resposta

D o m_f = {x in R| x != - 1 }

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