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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.9 - Ex. 1

Determine o jacobiano da transformação.

x = u + 4 v , y = 3 u - 2 v

Passo 1

O jacobiano é o determinante de uma matriz de derivadas parciais. Como estamos fazendo uma transformação no plano, então, o jacobiano será o determinante da seguinte matriz:

J (u , v) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]|

Sendo assim, precisamos determinar as derivadas parciais tanto de x quanto de y em relação as nossas novas variáveis u e v !

Passo 2

Vamos começar determinando as derivadas parciais. Para x , temos:

(del x)/(del u) = 1

(del x)/(del v) = 4

Já para y , temos:

(del y)/(del u) = 3

(del y)/(del v) = - 2

Portanto,

J (u , v) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]| = |[[1,4],[3,-,2]]| = - 14

Pronto, este é o jacobiano da nossa transformação!

Resposta

J (u , v) = - 14

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