Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas

A mudança para o sistema de coordenadas cilíndricas é realizada fazendo a seguinte substituição:

Se fizermos isto, vamos obter algo do tipo:

O problema é esse nosso sólido E. Precisamos entender quem ele é para podermos escrever os limites de integração após a mudança do sistema de coordenadas.

O nosso sólido é limitado abaixo pelo plano e acima pela superfície . Esta superfície corresponde a uma superfície esférica de raio 3 e centrada na origem. Bom, estas informações são fundamentais. Com elas, já conseguimos dizer que o raio varia de até .

A questão agora é sobre o e . Para entendermos eles, precisamos compreender como se comporta a projeção de E no plano . E esta região é a interseção do plano com a nossa esfera, o que caracteriza uma circunferência de raio 3 e centrada na origem. Portanto, temos que .

Por fim, nos falta descobrir . Como os nossos limites são a superfície esférica por cima e o plano por baixo, estamos descrevendo então a metade superior da esfera. Sendo assim, .

Logo, nossa integral tripla se transforma em:

Perceba que apareceu mais um termo no integrando. Isto se dá pelo Jacobiano da transformação!