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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 15

Utilize a transformação dada para calcular a integral.

∬ R x - 3 y d A , onde R é a região triangular de vértices 0,0 , 2,1 e 1,2 ; x = 2 u + v , y = u + 2 v

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar:

∬ R f x , y d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A

Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Passo 2

Temos que ∂ x ∂ u é a derivada de x em função de u :

∂ x ∂ u = ∂ ∂ u 2 u + v = 2

E ∂ x ∂ v é a derivada de x em função de v :

∂ x ∂ v = ∂ ∂ v 2 u + v = 1

Temos que ∂ y ∂ u é a derivada de y em função de u :

∂ y ∂ u = ∂ ∂ u u + 2 v = 1

E por ultimo ∂ y ∂ v é a derivada de y em função de v :

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v u + 2 v = 2

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 2 1 1 2 = 2.2 - 1.1 = 3

Passo 4

A transformação mapeia o limite de S para o limite da imagem R .

A reta com os pontos 0,0 e 2,1 é y = 1 2 x , que tem uma imagem:

y = 1 2 x = 1 2 2 u + v = u + 2 v → 2 u + v = 2 u + 4 v → v = 0

A reta com os pontos 2,1 e 1,2 é x + y = 3 , que tem uma imagem:

x + y = 3 → 2 u + v + u + 2 v = 3 → u + v = 1 → v = 1 - u

A reta com os pontos 0,0 e 1,2 é y = 2 x , que tem uma imagem:

y = 2 x → u + 2 v = 2 2 u + v → u = 0

Agora temos 0 ≤ v ≤ 1 - u e 0 ≤ u ≤ 1 no plano u v .

Passo 5

Agora vamo substituir na integral:

∬ R x - 3 y d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u 2 u + v - 3 u + 2 v 3 d v d u = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u - u - 5 v 3 d v d u = - 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u u + 5 v d v d u = - 3 ∫ 0 1 u v + 5 v 2 2 0 1 - u d u = - 3 ∫ 0 1 u 1 - u + 5 1 - u 2 2 - u . 0 + 5.0 2 2 d u = - 3 ∫ 0 1 u - u 2 + 5 1 - u 2 2 d u = - 3 u 2 2 - u 3 3 - 5 6 1 - u 3 0 1 = - 3 1 2 2 - 1 3 3 - 5 6 1 - 1 3 - 0 2 2 - 0 3 3 - 5 6 1 - 0 3 = - 3 1 2 - 1 3 + 0 - 0 - 0 - 5 6 = - 3

Resposta

∬ R x - 3 y d A = - 3

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