Utilize a transformação dada para calcular a integral.
, onde é a região triangular de vértices , e ; ,
Passo 1
Para calcular essa integral vamos usar:
Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:
Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.
Passo 2
Temos que é a derivada de em função de :
E é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
E por ultimo é a derivada de em função de :
Passo 3
Pronto, agora é só substituir e calcular:
Passo 4
A transformação mapeia o limite de para o limite da imagem .
A reta com os pontos e é , que tem uma imagem:
A reta com os pontos e é , que tem uma imagem:
A reta com os pontos e é , que tem uma imagem:
Agora temos e no plano .
Passo 5
Agora vamo substituir na integral: