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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.9 - Ex. 2

Determine o jacobiano da transformação.

x = u^2 - v^2 , y = u^2 + v^2

Passo 1

O jacobiano é o determinante de uma matriz de derivadas parciais. Como estamos fazendo uma transformação no plano, então, o jacobiano será o determinante da seguinte matriz:

J (u , v) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]|

Sendo assim, precisamos determinar as derivadas parciais tanto de x quanto de y em relação as nossas novas variáveis u e v !

Passo 2

Vamos começar determinando as derivadas parciais. Para x , temos:

(del x)/(del u) = 2 u

(del x)/(del v) = - 2 v

Já para y , temos:

(del y)/(del u) = 2 u

(del y)/(del v) = 2 v

Portanto,

J (u , v) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]| = |[[2,u,-,2,v],[2,u,2,v]]| = 4 u v + 4 u v = 8 u v

Pronto, este é o jacobiano da nossa transformação!

Resposta

J (u , v) = 8 u v

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Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Mostre que a transformação φ do exercício anterior transforma o círculo u 2 + v 2 ≤ r 2 no círculo x 2 + y 2 ≤ 2 r 2 .
Considere a transformação φ de ℝ2 em ℝ2 dada por x = u + v e y = u − v. Desenhe φ (B)sendo B a reta v = 0. sendo B o quadrado 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.
Calcule
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