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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 5

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n n 3

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n x n + 1 n + 1 3 - 1 n - 1 x n n 3 = lim n → ∞ ⁡ x n ∙ x n + 1 3 ∙ n 3 x n = x ∙ lim n → ∞ ⁡ n 3 n + 1 3 = x

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para x < 1 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 1 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo ( - 1,1 ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 1 e x = 1 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = - 1 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 , uma p-série com p = 3 > 1 , e, portanto, uma série convergente.

Já para x = 1 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 3 , que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = [ - 1,1 ]

Resposta

R = 1   e   I = [ - 1,1 ]

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