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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.9 - Ex. 3

Determine o jacobiano da transformação.

x = (u)/(u + v) , y = (v)/(u - v)

Passo 1

Vamos lá, temos que o jacobiano é da seguinte forma:

(del (x , y))/(del (u , v)) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]|

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Passo 2

Temos que (del x)/(del u) é a derivada de x em função de u :

(del x)/(del u) = (del)/(del u) ((u)/(u + v)) = (v)/((u + v)^2)

E (del x)/(del v) é a derivada de x em função de v :

(del x)/(del v) = (del)/(del v) ((u)/(u + v)) = - (u)/((u + v)^2)

Temos que (del y)/(del u) é a derivada de y em função de u :

(del y)/(del u) = (del)/(del u) ((v)/(u - v)) = (- v)/((u - v)^2)

E por ultimo (del y)/(del v) é a derivada de y em função de v :

(del y)/(del v) = (del)/(del v) ((v)/(u - v)) = (u)/((u - v)^2)

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

(del (x , y))/(del (u , v)) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]| = |[[(v)/((u + v)^2),-,(u)/((u + v)^2)],[(- v)/((u - v)^2),(u)/((u - v)^2)]]| = (v)/((u + v)^2) . (u)/((u - v)^2) - (- v)/((u - v)^2) (- (u)/((u + v)^2)) = (v u)/((u + v)^2 (u - v)^2) - (v u)/((u - v)^2 (u + v)^2) = 0

Resposta

(del (x , y))/(del (u , v)) = |[[(v)/((u + v)^2),-,(u)/((u + v)^2)],[(- v)/((u - v)^2),(u)/((u - v)^2)]]| = 0

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