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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 3

Calcue ∫ ∫ D cos ⁡ x - y x + y d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por x + y = 1 , x = 0 e y = 0 .

Passo 1

Bom galera, a gente precisa calcular a área da região D . Vamos começar mudando as variáveis na integral dupla, que é bem assim:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v   d u d v

Onde usaremos:

u = x - y

v = x + y

Para botarmos dentro do cosseno.

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

∂ x , y ∂ u , v = det ⁡ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Mas pra facilitar vamos usar o inverso disso:

1 ∂ x , y ∂ u , v = ∂ u , v ∂ x , y = det ⁡ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Então, colocamos os valores:

det ⁡ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = det ⁡ 1 - 1 1 1 = 2

Logo usaremos o inverso disso:

∂ x , y ∂ u , v = 1 2

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:

A = ∫ ∫ Q cos ⁡ x - y x + y ⋅ 1 2 d u d v

Substituimos as variáveis:

A = ∫ ∫ Q cos ⁡ u v ⋅ 1 2 d u d v

A = 1 2 ∫ ∫ Q cos ⁡ u v d u d v

Passo 4

Então, delimitamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

x + y = 1

x = 0

y = 0

E a gente tem as equações:

x + y = v

x - y = u

Somamos as duas:

2 x = u + v

Se substituirmos encontraremos:

2 y = v - u

Então nossa região em Q fica:

x + y = 1 → v = 1

x = 0 → u = - v

y = 0 → v = u

Logo podemos escrever assim:

0 ≤ v ≤ 1

- v ≤ u ≤ v

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = 1 2 ∫ 0 1 ∫ - v v cos ⁡ u v d u d v

Integramos a primeira vez:

A = 1 2 ∫ 0 1 v sin ⁡ u v - v v d v

= 1 2 ∫ 0 1 v sin ⁡ v v - v sin ⁡ - v v d v

= 1 2 ∫ 0 1 v sin ⁡ 1 - v sin ⁡ - 1 d v

= 1 2 ∫ 0 1 v sin ⁡ 1 - - v sin ⁡ 1 d v

= 1 2 ∫ 0 1 2 v sin ⁡ 1 d v

= sin ⁡ 1 ⋅ ∫ 0 1 v   d v

E integramos denovo:

A = sin ⁡ 1 ⋅ v 2 2 0 1

= sin ⁡ 1 ⋅ 1 2 2

= 1 2 sin ⁡ 1

E prontinho. 😊

Resposta

A = 1 2 sin ⁡ 1

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Determine o jacobiano da transformação. x = u u + v , y = v u - v
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R x 2 - x y + y 2 d A , onde R é a região delimitada pela elipse x 2 - x y + y 2 = 2 ; x = 2 u - 2 3 v , y = 2 u + 2 3 v
Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada. S = u , v | 0 ≤ u ≤ 3,0 ≤ v ≤ 2 ; x = 2 u + 3 v , y = u - v
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R x - 3 y d A , onde R é a região triangular de vértices 0,0 , 2,1 e 1,2 ; x = 2 u + v , y = u + 2 v
Determine o jacobiano da transformação x = 5 u - v ,y = u + 3 v