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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 2a

Considere a aplicação g definida pelas equações

x = u + v e y = v - u 2

Utilizando g , calcule ∫ ∫ D x - y + 1 4 - 1 2 d x d y , onde D é a imagem no plano x y da região Q no plano u v limitada pelas retas u = 0 , u + v = 2 .

Passo 1

Bom galera, a gente precisa calcular a área da região D . Vamos começar mudando as variáveis na integral dupla, que é bem assim:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ R f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v   d v d u

Onde temos:

x = u + v

y = v - u 2

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano, usando as derivadas parciais:

∂ x , y ∂ u , v = det ⁡ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Então, colocamos os valores:

det ⁡ 1 1 - 2 u 1 = 1 + 2 u

Passo 3

Show de bolinhas, então nossa integral fica:

A = ∫ ∫ R x - y + 1 4 - 1 2 ⋅ 1 + 2 u d v d u

Agora vamos delimitar a região R :

u = 0

u + v = 2 → v = 2 - u

A região R fica:

0 ≤ u ≤ 2

0 ≤ v ≤ 2 - u

Passo 4

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - u x - y + 1 4 - 1 2 ⋅ 1 + 2 u d v d u

Antes vamos substituimos x e y :

A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - u u + v - v - u 2 + 1 4 - 1 2 ⋅ 1 + 2 u d v d u

A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - u u + u 2 + 1 4 - 1 2 ⋅ 1 + 2 u d v d u

A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - u u + 1 2 - 1 ⋅ 1 + 2 u d v d u

A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - u 1 + 2 u u + 1 2 d v d u

A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - u 1 + 2 u 1 2 2 u + 1 d v d u

A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - u 1 1 2 1 d v d u

A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - u 2 d v d u

Integramos a primeira vez:

A = ∫ 0 2 2 v 0 2 - u d u

= ∫ 0 2 4 - 2 u d u

E integramos denovo:

A = 4 u - u 2 0 2

= 4 2 - 2 2

= 8 - 4 = 4

E prontinho. 😊

Resposta

A = 4

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Determine o jacobiano da transformação. x = u + 4 v , y = 3 u - 2 v
Determine o jacobiano da transformação. x = u 2 - v 2 , y = u 2 + v 2
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Mostre que a transformação φ do exercício anterior transforma o círculo u 2 + v 2 ≤ r 2 no círculo x 2 + y 2 ≤ 2 r 2 .
Considere a transformação φ de ℝ2 em ℝ2 dada por x = u + v e y = u − v. Desenhe φ (B)sendo B a reta v = 0. sendo B o quadrado 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.