Determine o limite lim x→0^+ [1/x^(1/3) + 2/(x-1)^(4/3)]

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f x =     ⁡ 1 x 1 3 + 2 x - 1 4 3 quando nos aproximamos de 0 pela direita, ou seja por valores positivos.

Como estamos numa soma, podemos usar a regra da subtração “O limite da soma é a soma dos limites”:

l i m x → 0 +   1 x 1 3 + 2 x - 1 4 3 = l i m x → 0 + 1 x 1 +     l i m t → 0 +   2 x - 1 4 3  

Pela regra do quociente nas parcelas do limite, temos:

l i m x → 0 +   1 x 1 3 + 2 x - 1 4 3 = l i m x → 0 + 1 x 1 3 +     l i m x → 0 +   2 x - 1 4 3 =   l i m x → 0 + 1 l i m x → 0 + x 1 3 + l i m x → 0 + 2 l i m x → 0 + x - 1 4 3

Passo 2

Se ligue que 2 não depende de x, então l i m t → 0 + 2 = 2 , pelo mesmo motivo l i m t → 0 + 1 = 1 . Substituindo os resultados nessa bagaçada, ficamos :

  l i m x → 0 + 1 l i m x → 0 + x 1 3 + l i m x → 0 + 2 l i m x → 0 + x - 1 4 3 = 1 0 + 2 1    

Ps: Não escreve o 1 0   na sua prova, man senão teu professor vai te meter um zero. Fiz isso aqui so pra você perceber que o numerador não se anula, enquanto o denominador se anula, isso significa dizer que a nossa expressão tende a ∞ . Vamos analisar o ‘sinal’ desse .

Passo 3

Vamos olhar primeiro para essa parcela do limite:

l i m x → 0 + x 1 3  

Como estamos próximo a zero pela direita, então estamos com valores positivos, daí

1 0 = ∞

Dando uma roubadinha, poderíamos pensar assim:

∞ + 2

Como é muito grande e só estamos adicionando 2 a ele. Então, isso me retornaria algo grade com sinal negativo. Ou seja,

∞ + 2 = ∞  

Beleza?

Passo 4

Mas como eu disse, não é aquilo que você vai escrever na prova, então veja só como você botaria lá:

l i m x → 0 +   1 x 1 3 + 2 x - 1 4 3 =   ∞

Resposta

l i m x → 0 +   1 x 1 3 + 2 x - 1 4 3 =   ∞

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