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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 4

4 - O sólido está situado entre os planos perpendiculares ao eixo x em x = 0 e x = 6. As seções transversais entre esses planos são quadrados cujas bases vão do eixo x à curva x 1 2 + y 1 2 = 6

Passo 1

Volume será dado pela fórmula:

V =   ∫ a b A x d x

A x = b o r d a 2

A borda é a função:

A x =   6 - x 2 2

A x = 6 - 2 6 x + x 2

A x = 36 + 36 x + x 2 - 24 6 x - 4 x 6 x

Passo 2

Inserindo na integral, dado pela figura os limites de integração: a = 0   e   b = 6 .

∫ 0 6 36 + 36 x + x 2 - 24 6 x - 4 x 6 x   d x

∫ 0 6 36 + 36 x + x 2 - 24 6 x 1 2 - 4 x 6 x 1 2   d x

Organizando os termos:

∫ 0 6 36 + 36 x + x 2 - 24 6 ⋅ x 1 2 - 4 x 6 ⋅ x 1 2   d x

∫ 0 6 36 + 36 x + x 2 - 24 6 ⋅ x 1 2 - 4 6 ⋅ x 3 2   d x

Resolvendo a integral teremos:

V =   36 x + 36 x 2 2 + x 3 3 - 2 4 6 ⋅ x 1 2 + 1 1 2 + 1 - 4 6 ⋅ x 3 2 + 1 3 2 + 1 0 6

V = 36 x + 18 x 2 + x 3 3 - 48 6 ⋅ x 3 3 - 4 6 ⋅ 2 x 5 5 0 6

Inserindo assim os limites de integração:

V = 36 ⋅ 6 + 18 ⋅ 6 2 + 6 3 3 - 4 8 6 ⋅ 6 3 3 - 4 6 ⋅ 2 6 5 5

V = 216 + 648 + 72 - 4 8 6 ⋅ 6 6 3 - 4 6 ⋅ 72 6 5

V = 936 - 172 8 3 - 1728 5

V = 936 - 576 - 1728 5

V = 360 - 1728 5

Assim:

V = 180 0 - 1728 5 = 72 5

Resposta

72 5

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