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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 59 b

Determine o limite underset(t -> 0^-)(l i m) [2 - (3)/(t^((1)/(3)))]

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f (t) = 2 - (3)/(t^((1)/(3))) quando nos aproximamos de 0 pela esquerda, ou seja por valores negativos.

Como estamos numa divisão, podemos usar a regra da subtração “O limite da subtração dos limites”:

underset(t -> 0^-)(l i m) [2 - (3)/(t^((1)/(3)))] = underset(t -> 0^-)(l i m) 2 - underset(t -> 0^-)(l i m) (3)/(t^((1)/(3)))

Pela regra do quociente na segunda parcela do limite, temos:

underset(t -> 0^-)(l i m) [2 - (3)/(t^((1)/(3)))] = underset(t -> 0^-)(l i m) 2 - underset(t -> 0^-)(l i m) (3)/(t^((1)/(3))) = (underset(t -> 0^-)(l i m) 3)/(underset(t -> 0^-)(l i m) t^((1)/(3)))

Passo 2

Se ligue que 2 não depende de t, então underset(t -> 0^-)(l i m) 2 = 2 . Pelo mesmo motivo, underset(t -> 0^-)(l i m) 3 = 3 . Substituindo os resultados nessa bagaçada, ficamos

underset(t -> 0^-)(l i m) 2 - underset(t -> 0^-)(l i m) (3)/(t^((1)/(3))) = (underset(t -> 0^-)(l i m) 3)/(underset(t -> 0^-)(l i m) t^((1)/(3))) = 2 - (3)/(0)

Ps: Não escreve o (3)/(0) na sua prova, man senão teu professor vai te meter um zero. Fiz isso aqui so pra você perceber que o numerador não se anula, enquanto o denominador se anula, isso significa dizer que a nossa expressão tende a oo . Vamos analisar o ‘sinal’ desse oo .

Passo 3

Vamos olhar primeiro para essa parcela do limite:

underset(t -> 0^-)(l i m) t^((1)/(3))

Como estamos próximo a zero pela esquerda, então estamos com valores negativos, daí

(3)/(0) = - oo

Dando uma roubadinha, poderíamos pensar assim:

2 - (- oo) = 2 + oo

Como oo é muito grande e só estamos adicionando 2 a ele . Então, isso me retornaria algo grade com sinal negativo. Ou seja,

2 + oo = oo

Beleza?

Passo 4

Mas como eu disse, não é aquilo que você vai escrever na prova, então veja só como você botaria lá:

underset(t -> 0^-)(l i m) [2 - (3)/(t^((1)/(3)))] = oo

Resposta

underset(t -> 0^-)(l i m) [2 - (3)/(t^((1)/(3)))] = oo

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40. Em cada parte, encontre o menor número positivo N , tal que para cada ponto x no intervalo N ,+ ∞ , a função f x = 1 x 3 não esteja mais longe do que ε unidades do número L = 0 .b) ϵ = 0,01
39. c) Encontre o maior número negativo N , tal que, para cada ponto x no intervalo - ∞ ,N , o valor da função f x = 1 x 3 não esteja mais longe do que 0,001 unidade de L = 0 .
39. a) Encontre o menor número positivo N , tal que, para cada ponto x no intervalo N ,+ ∞ , o valor da função f x = 1 x 2 não esteja mais longe do que 0,1 unidade de L = 0 .
39. d) Encontre o maior número negativo N , tal que, para cada ponto x no intervalo - ∞ ,N , o valor da função f x = x x + 1 não esteja mais longe do que 0,01 unidade de L = 1 .
40. Em cada parte, encontre o menor número positivo N , tal que para cada ponto x no intervalo N ,+ ∞ , a função f x = 1 x 3 não esteja mais longe do que ε unidades do número L = 0 .c) ϵ = 0,001