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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 4

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

  1. ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x
  2. ∫ 2 π 3 π 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x

Passo 1

Lembrando do Teorema 7:

∫ a b f g x ∙ g ' x d x = ∫ g a g b f u d u

Assim, faremos uma mudança de variável:

u = cos ⁡ x

Derivando dos dois lados:

d u = - sin ⁡ x d x

- d u = sin ⁡ x d x

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral:

x = 0 → u = cos ⁡ 0 = 1

x = π → u = cos ⁡ π = - 1

Assim,

∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x = - 3 ∫ 1 - 1 u 2 d u

Calculando a integral:

- 3 ∫ 1 - 1 u 2 d u = - 3 u 3 3 1 - 1 = - 3 - 1 3 3 - 1 3 3 = - 3 - 1 3 - 1 3 = 2

Passo 2

Fazendo agora para os outros limites superior e inferior:

x = 2 π → u = cos ⁡ 2 π = 1

x = 3 π → u = cos ⁡ 3 π = - 1

Assim,

- 3 ∫ 1 - 1 u 2 d u = 2

Resposta

  1. 2
  2. 2
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