Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 14

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

16 -

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2  

Passo 1

E aí, galera. Beleza?

Bom, nessa questão nós temos que analisar a função f ( x , y ) dada e calcular o limite pedido. Caso ele não exista, devemos mostrar isso.

Tranquilo? Vem comigo então.

Passo 2

Seja a função:

f x , y = x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2

de cara já podemos ver que f x , y não é contínua no ponto 0,0 já que o denominador seria igual a zero.

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x :

f x , 0 = x 2 s e n 2 0 x 2 + 2.0 2 = 0

Agora vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo y :

f 0 , y = 0 2 s e n 2 y 0 2 + 2 y 2 = 0

Se aproximarmos f ( x , y ) do ponto ( 0,0 ) ao longo da reta y = m x teremos:

f x , m x = x 2 s e n 2 m x x 2 + 2 ( m x ) 2 = s e n 2 m x 1 + 2 m 2

Quando x → 0 , f x , m x → 0

Se tentarmos a aproximação pelas parábolas y = x 2 ou x = y 2 , o limite também dá zero.

Logo, há uma forte suspeita de que o limite é 0   .

Passo 3

Vamos verificar se o limite é de fato é 0 :

Sabemos que x 2 ≤ x 2 + 2 y 2

Logo,

x 2 x 2 + 2 y 2 ≤ 1

Como   s e n 2 y ≥ 0 , podemos multiplicar s e n 2 y nos dois lados:

x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 ≤ s e n 2 y

0 ≤ x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 ≤ s e n 2 y

Passo 4

Usando o Teorema do confronto, temos que:

0   ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 ��� l i m x , y → ( 0,0 ) s e n 2 y

0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 ≤ 0

Logo,

l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 = 0 .

Resposta

0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se f x 0 ,y 0 = 3 , o que você pode dizer sobre lim x , y → x 0 ,y 0 ⁡ f x ,y se f é contínua em x 0 ,y 0 ? E se f não é contínua em x 0 ,y 0 ? Justifique suas respostas.
Seja f (x , y) = {[[x^2 , x = 0],[x^3 , x0]]) Encontre os limites a seguir.underset((x , y) - (3 , - 2))(lim) f (x , y) underset((x , y) - (- 2 , 1))(lim) f (x , y) underset((x , y) - (0 , 0))(lim) f
Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções nos Exercícios 41-48 não têm limite quando x ,y → 0 ,0 . f x ,y = x 2 - y x - y
Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções nos Exercícios 41-48 não têm limite quando x ,y → 0 ,0 . f x ,y = x 2 y x 4 + y 2
Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções nos Exercícios 41-48 não têm limite quando x ,y → 0 ,0 . f x ,y = x 2 + y y