Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que a gente resolva o seguinte limite (se ele existir):

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 x 2 + y 2 + z 2

Caso ele não exista, devemos demonstrar.

De cara já podemos ver que f x , y , z não é contínua no ponto 0,0 , 0 já que o denominador seria igual a zero.

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y , z ) ao longo do eixo x e, em seguida, ao longo do eixo y .

Com isso, se os limites forem iguais, então existe o limite nesse ponto. 😉

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y , z ) ao longo do eixo x :

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ f x , 0,0 = x 2 + 0 + 0 x 2 + 0 + 0

Simplificando os termos iguais, temos:

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ f x , 0,0 = 1

Passo 3

Agora vamos aproximar f x , y , z   ao longo do eixo y :

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ f 0 , y , 0 = 0 + 2 y 2 + 0 0 + y 2 + 0

Simplificando os termos iguais, temos:

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ f 0 , y , 0 = 2

Como f ( x , y , z ) tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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Exercício de Livro
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 0 , 0 ) ⁡ x y x 2 + y 2
4. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 - y 4 x 2 + y 2