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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.Exercícios Práticos - Ex. 17

Determine o limite ou explique por que ele não existe.

lim x → 1 ⁡ x 1 3   -   1 x   - 1

Passo 1

Para calcular o limite, devemos notar que uma simples substituição de x por 1 resultará em uma indeterminação com 0 no denominador da fração. Por isso, devemos desenvolver o polinômio.

Passo 2

Sabemos que ( a   -   b ) ( a   +   b )   = a 2 -   b 2  

lim x → 1 ⁡ x 1 3   -   1 x   - 1   =   lim x → 1 ⁡ x 1 3   -   1 x   - 1   ∙   x   +   1 x   +   1

lim x → 1 ⁡ x 1 3   -   1 x   - 1   ∙   x   +   1 1

Passo 3

Sabendo que x 3 -   y 3   =   ( x 2   +   x y   +   y 2 ) ( x   -   y )

Reescrevemos   x   -   1 como       ( x 2 3   +   x 1 3   +   1 ) ( x 1 3   -   1 )

lim x → 1 ⁡ x 1 3   -   1 ( x 2 3   +   x 1 3   +   1 ) ( x 1 3   -   1 )   ∙   x   +   1 1

lim x → 1 ⁡ 1 ( x 2 3   +   x 1 3   +   1 )   ∙   x   +   1 1

Passo 4

Note que   ( x 2 3   +   x 1 3   +   1 ) para x = 1 nunca será 0. Logo, é possível fazer a substituição.

lim x → 1 ⁡ 1 ( x 2 3   +   x 1 3   +   1 )   ∙   x   +   1 1

1 ( 1 2 3   +   1 1 3   +   1 ) ∙   1   +   1 1  

1 ( 1   +   1   +   1 ) ∙   1   +   1 1  

1 3 ∙   2 1   =   2 3  

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 1 3   -   1 x   - 1   =   2 3

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Calcule o limite e, quando aplicável, indique o teorema de limite usado. lim t → 0 ⁡ 9 - t - 3 t
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