Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Confira suas respostas por diferenciação

∫ ( 2 + tg 2 ⁡ θ ) d θ

Passo 1

Antes de mais nada precisamos lembrar que a derivada é a função inversa da integral.

A primitiva resulta desse processo. Nesse caso trabalharemos com as funções trigonométricas.

Passo 2

Reformulando um pouco a integral, conseguiremos usar a identidade trigonométrica

1 + tg ² ⁡ θ = sec ² ⁡ θ

∫ ( 1 + 1 + tg 2 ⁡ θ )   d θ

Substituindo a identidade trigonométrica na função, teremos:

∫ 1 + sec 2 ⁡ θ d θ

Separando em duas integrais, temos:

∫ 1   d θ + ∫ sec 2 ⁡ θ d θ

Solucionando as primitivas, temos:

θ + tg ⁡ θ + C

Sem esquecer de somar a constante de integração!

Passo 3

Derivando a equação, teremos:

1 + sec ² ⁡ θ + 0 = 1 + sec ² ⁡ θ

1 + 1 + tg 2 ⁡ x = 2 + tg ² ⁡ x

Resposta

θ + tg ⁡ θ + C

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